Czy wiecie jak rozwiązać takie zadanie?
Czy układ wielomianów stanowi bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_{3}}\)?
\(\displaystyle{ \{ x+3; (x-3)^{3}; \frac{4}{5}; 3x^{2}; x^{3}-4 \}}\)
Z góry wielkie dzięki za przedstawienie rozwiązania (pojutrze kolokwium ??: )
baza przestrzeni wielomianów
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
baza przestrzeni wielomianów
Układ powyzszych wielomianow nie stanowi bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_3}\).
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ (x-3)^2=x^3-9x^2+27x-27}\)
Skoro uklad wielomianow ma stanowic baze przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_3}\), zatem musi byc on liniowo niezalezny.
Niech:
\(\displaystyle{ \alpha (x^3-4)+\beta (3x^2)+\gamma (x+3) + \varepsilon \frac{4}{5}=x^3-9x^2+27x-27}\)
Stad wynika, ze:
\(\displaystyle{ \begin{cases} =1\\\beta=-3\\\gamma=27\\\varepsilon=-130\end{cases}}\)
Zatem wektory te sa liniowo zalezne, a co za tym idzie nie moga tworzyc one bazy przestrzeni wielomianow \(\displaystyle{ R[x]_3}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ (x-3)^2=x^3-9x^2+27x-27}\)
Skoro uklad wielomianow ma stanowic baze przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_3}\), zatem musi byc on liniowo niezalezny.
Niech:
\(\displaystyle{ \alpha (x^3-4)+\beta (3x^2)+\gamma (x+3) + \varepsilon \frac{4}{5}=x^3-9x^2+27x-27}\)
Stad wynika, ze:
\(\displaystyle{ \begin{cases} =1\\\beta=-3\\\gamma=27\\\varepsilon=-130\end{cases}}\)
Zatem wektory te sa liniowo zalezne, a co za tym idzie nie moga tworzyc one bazy przestrzeni wielomianow \(\displaystyle{ R[x]_3}\)