Witam! Nie znam lub nie jestem pewna odpowiedzi na te pytania, które dotyczą ogólnej wiedzy z całej algebry liniowej. Odpowiada się "tak[T]" lub "nie[N]". W nawiasach podam swoje odpowiedzi i bardzo prosiłabym o ich zweryfikowanie.
1. Wektory \(\displaystyle{ U, V, W}\) są liniowo niezależne. Czy stąd wynika, że:
a) \(\displaystyle{ U+V, W}\) są liniowo zależne? [N]
b) \(\displaystyle{ U+V, U+W, V-W}\) są liniowo zależne? [N]
2. Czy kombinacja liniowa wektorów niezerowych wektorów \(\displaystyle{ V, W}\) może mieć kierunek różny od kierunków obu tych wektorów, jeśli wiadomo że wektory te są:
a) współliniowe, [T]
b) niewspółliniowe? [N]
3. Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ U: R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ U(X)=2T(X)}\) ma cztery razy większe wartości własne niż przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: R^{2} \rightarrow R^{2}}\). [N]
4. Rzut prostokątny na dowolną prostą w \(\displaystyle{ R^{2}}\) przechodząca przez punkt (0,0) ma wartość własną -1. ??
5. Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T}\)działające na macierz \(\displaystyle{ M}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 4x4}\) jest zadane wzorem \(\displaystyle{ T(M)=M^{T}}\). Wiem, że można wpaść od razu, ze 1 i -1 są wartościami własnymi. Moje pytanie: po czym to zauważyć?