Rzut i dopełnienie ortogonalne

[bzykubd]

Witam,

mam problem z dwoma zadaniami:

--------------------------------------

1. Wyznacz dopełnienie ortogonalne przestrzeni \(\displaystyle{ V^{\perp}}\) podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ze standardowym iloczynem skalarnym, jeżeli:

\(\displaystyle{ V = Lin\{(-1,0,1),(2,3,0)\}}\)

Z tym mam taki problem, że nie mam pojęcia jak takie zadanie liczyć. Nie chcę gotowego rozwiązania, w zupełności wystarczy informacja jak to policzyć.

--------------------------------------

2. Niech \(\displaystyle{ V = C[0,1]}\) będzie przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ f\bullet g = \int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx}\). Znajdź rzut ortogonalny funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^4}\) na przestrzeń \(\displaystyle{ W=Lin\{1,x^2,x^5\}}\).

Gdyby \(\displaystyle{ V = C[-1,1]}\), to bym policzył to stosując ortogonalizację Grama-Schmidta, a mając wyznaczone v(x)'y obliczył:

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(x)\bullet v_1(x)}{ v_1(x) \bullet v_1(x)}v_1(x) + ... + \frac{f(x)\bullet v_3(x)}{ v_3(x) \bullet v_3(x)}v_3(x)}\)

A co w tym przypadku? Kiedy \(\displaystyle{ V = C[0,1]}\)? Jak to wpływa?

Z góry dzięki za pomoc

[Spektralny]

Ad 1. Szukasz takich wektorów \(\displaystyle{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3}\), że

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}(x,y,z)\circ (-1,0,1)=0\\ (x,y,z)\circ (2,3,0)=0 \end{array}\right.}\)

Ad 2. Nie rozumiem jaką różnicę robi Ci \(\displaystyle{ C[0,1]}\).

[bzykubd]

Ad 2. Jeżeli nie robi to różnicy, to nawet lepiej, ale zauważyłem, że w treści taka różnica czasami jest i podejrzewałem, że skoro to podają to być może ma to jakieś znaczenie. W każdym razie dzięki raz jeszcze.

[KLU]

Ad 1.

A można prosić o wytłumaczenie jak to policzyć?

Dzięki.