Dowieść, że wektory \(\displaystyle{ v_{1}=(5,3,1), v_{2}=(1,-3,-2), v_{3}=(1,2,1)}\) są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) oraz wyznaczyć odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) takie, że \(\displaystyle{ f(v_{i})=w_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\), gdzie \(\displaystyle{ w_{1}=(-2,1,0), w_{2}=(-1,3,0), w_{3}=(1,2,1)}\). Wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\).
A więc dowiodłem, że wektory \(\displaystyle{ v_{1}=(5,3,1), v_{2}=(1,-3,-2), v_{3}=(1,2,1)}\) są liniowo niezależne i wyznaczyłem odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(5x-20y+33z, 7x-24y+38z, 0)}\). Mam jednak problem z ostatnią częścią zadania.
Gdy mam podane bazy dziedziny i przeciwdziedziny to bazę wyznaczyć umiem, ale tutaj jest podana tylko baza dziedziny:\(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\). Czy to znaczy, że w przeciwdziedzinie mogę wziąć dowolną bazę, np. bazę kanoniczną? Wtedy miałbym następujący układ:
\(\displaystyle{ f(5,3,1)=a_{11}(1,0,0) + a_{21}(0,1,0) + a_{31}(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ f(1,-3,-2)=a_{12}(1,0,0) + a_{22}(0,1,0) + a_{32}(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ f(1,2,1)=a_{13}(1,0,0) + a_{23}(0,1,0) + a_{33}(0,0,1).}\)
Dobrze to interpretuję? czy może wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) mam potraktować jako bazę przeciwdziedziny, a w dziedzinie wziąć bazę kanoniczną?-- 9 cze 2013, o 12:32 --Pobijam