Liniowa niezależność

[Szczech]

Mam problem z zadaniem, które wydaje się trywialne.

Otóż mam dwa wektory: \(\displaystyle{ (2,3,-1), (1,-3,2)}\)
Sprawdzam liniową niezależność:
\(\displaystyle{ \alpha_1(2,3,-1)+\alpha_2(1,-3,2)=(0,0,0)}\)
Otrzymuję ukłąd równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\alpha_1 + \alpha_2 = 0 \\ 3\alpha_1-3\alpha_2=0 \\ -\alpha_1+2\alpha_2=0 \end{cases}}\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2}\)
I gdyby to podstawić do pierwszego równania to wychodzi: \(\displaystyle{ 3\alpha_1=0}\)
Czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=0}\)
więc układ jest liniowo niezależny, ale mam wątpliwości czy to tak działa...

[yorgin]

Niepotrzebne.

To jest poprawne sprawdzenie.

[Szczech]

A gdyby oprócz tego było pytanie czy wektory stanowią bazę przestrzeni? Można ułożyć układ równań:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=a(2,3,-1)+b(1,-3,2)}\) co prowadzi do układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2a+b \\ y=3a-3b \\z=-a+2b \end{cases}}\)
No i teraz pytanie jak na podstawie takiego układu wyciągnąć jakieś wnioski? Nie da się tu policzyć wyznacznika głównego bo nie ma macierzy kwadratowej, więc jak sobie z tym poradzić?

[yorgin]

Wektorów są dwa, przestrzeń jest wymiaru trzy. Stąd można już wysunąć pewien wniosek.

Możesz też spróbować dobrać \(\displaystyle{ x,y,z}\) takie, by wyszedł układ sprzeczny. Nie powinno być to trudne.