Postac Jordana

[Gogeta]

Znalesc postac Jordana \(\displaystyle{ (J=QAQ^{-1})}\) dla macierzy:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 5&2&-8 \\ 0&-1&4 \\ 2&0&-1 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P(x) = (x-1)(x-1+2i)(x-1-2i)}\)

dla \(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 4&2&-8 \\ 0&-2&4 \\ 2&0&-2 \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x+2y-8z=0 \\ -2y+4z=0 \\ 2x-2z=0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ 2x=y=2z}\)

\(\displaystyle{ v_1=[1,2,1]}\)

dla \(\displaystyle{ x=1-2i}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 4+2i&2&-8 \\ 0&-2+2i&4 \\ 2&0&-2+2i \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ 0}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases}(4+2i)x+2y-8z=0 \\ (-2+2i)y+4z=0 \\ 2x+(-2+2i)z=0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ x= \frac{1-2i}{2+i}y \Rightarrow x=-iy}\)
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)}{2}y =z}\)

\(\displaystyle{ v_2=[1,-i,1]}\)
\(\displaystyle{ v_3=[1,i,1]}\)


\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1-2i&0 \\ 0&0&1+2i \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 2&-i&i \\ 1&1&1 \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 5&2&-8 \\ 0&-1&4 \\ 2&0&-1 \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ Q^{-1}}\)

Dobrze to zrobilem? Bo mam watpliwosci odnosnie wektorow wlasnych dla wartosci wlasnej zespolonej.

[lukequaint]

Źle, ale Twoje wątpliwości są słuszne - coś jest z tymi wektorami nie w porządku. Wyliczona przez Ciebie macierz \(\displaystyle{ Q}\) ma zerowy wyznacznik i tym samym nie jest odwracalna.

[Gogeta]

hmm poprzeksztalcalem sobie ten uklad rownan do postaci
\(\displaystyle{ x=-iy=(1-i)z}\)

czyli \(\displaystyle{ v_2= [1,-i,1-i]}\) ?

[lukequaint]

Też nie, bo współrzędne wyznaczonego przez Ciebie wektora nie spełniają przekształconego układu równań. Z równania:
\(\displaystyle{ -i \cdot y=(1-i) \cdot z}\)

dla \(\displaystyle{ v_2=[1,-i,1-i]}\) otrzymasz:

\(\displaystyle{ (-i) \cdot (-i) = -1 \neq -2i = (1-i) \cdot (1-i)}\)

Postaraj się sprawdzać sam wyniki, np. skorzystaj ze strony:


Możesz tam wpisać wyliczone przez siebie macierze i je przemnożyć. Dla sprawdzenia nie musisz wyznaczać \(\displaystyle{ Q^{-1}}\), wystarczy, że przemnożysz podane przez Ciebie na końcu równanie przez \(\displaystyle{ Q}\) z prawej strony.

[Gogeta]

okej wreszcie doszedlem do tego jak to zrobic ...

\(\displaystyle{ v_1=[1,2,1]}\)
\(\displaystyle{ v_2=[1-i,1+i,1]}\)
\(\displaystyle{ v_3=[1+i,1-i,1]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1-2i&0 \\ 0&0&1+2i \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1&1-i&1+i \\ 2&1+i&1-i \\ 1&1&1 \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 5&2&-8 \\ 0&-1&4 \\ 2&0&-1 \end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ Q^{-1}}\)
No i tu mamy zespolona postac jordana a jak przejsc z zespolonej na rzeczywista?

[lukequaint]

Szczęśliwie dana macierz się zdiagonalizowała. Aby otrzymać rzeczywistą postać Jordana należy:
\(\displaystyle{ 1.}\) macierz z zespolonymi wartościami własnymi przekształcić na macierz z elementami rzeczywistymi oraz
\(\displaystyle{ 2.}\) znalezioną bazę zespolonej przestrzeni liniowej "przerobić" na bazę złożoną z wektorów o współczynnikach rzeczywistych.

\(\displaystyle{ 1. a)}\) Załóżmy, że mamy macierz złożoną z jednowymiarowych klatek Jordana (macierz diagonalną) z liczbami zespolonymi (w nieuzupełnionych miejscach są zera) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{j}=a_{j}+b_{j}\cdot i}\). Wtedy rzeczywista postać Jordana będzie wyglądała następująco:

\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}
{cccccccc}
r_{1}&&&&&&&0\\
& \ddots &&&&&&\\
&&r_{k}&&&&&\\
&&&\lambda_{1}&&&&\\
&&&&\overline{\lambda_{1}}&&&\\
&&&&&\ddots&&\\
&&&&&&\lambda_{l}&\\
0&&&&&&&\overline{\lambda_{l}}
\end{array}\right)
\longrightarrow
\left(
\begin{array}
{cccccccc}
r_{1}&&&&&&&0\\
& \ddots &&&&&&\\
&&r_{k}&&&&&\\
&&&a_{1}&b_{1}&&&\\
&&&-b_{1}&a_{1}&&&\\
&&&&&\ddots&&\\
&&&&&&a_{l}&b_{l}\\
0&&&&&&b_{l}&a_{l}
\end{array}\right)}\)

tj. każda para \(\displaystyle{ z, \overline{z}}\) będzie zastąpiona klatką o wymiarach \(\displaystyle{ 2 \times 2}\).

\(\displaystyle{ b)}\) Załóżmy, że nasza macierz się nie diagonalizuje, a postać Jordana wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}
{ccccccccccc}
\ddots&&&&&&&&&&0\\
&r_{n}&1&&&&&&&&\\
&&r_{n}&&&&&&&\\
&&& \ddots &&&&&&&\\
&&&&\lambda_{j}&1&&&&&\\
&&&&&\lambda_{j}&1&&&&\\
&&&&&&\lambda_{j}&&&&\\
&&&&&&&\overline{\lambda_{j}}&1&&\\
&&&&&&&&\overline{\lambda_{j}}&1&\\
&&&&&&&&&\overline{\lambda_{j}}&\\
0&&&&&&&&&&\ddots\\
\end{array}\right)}\)

Wtedy klatki z wartościami rzeczywistymi zostają bez zmian, natomiast pary klatek (macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\)) z wartością zespoloną i jej sprzężeniem, dla \(\displaystyle{ \lambda_{j}=a_{j}+b_{j}\cdot i}\) przekształcamy na (dla klatek \(\displaystyle{ 1 \times 1}\) postępujemy jak w \(\displaystyle{ a)}\)):

\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}
{cccccc}
a_{j}&b_{j}&1&0&&0\\
-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\
&&a_{j}&b_{j}&1&0\\
&&-b_{j}&a_{j}&0&1\\
&&&&a_{j}&b_{j}\\
0&&&&-b_{j}&a_{j}\\
\end{array}\right)}\)

W Twoim przypadku mamy do czynienia z przypadkiem \(\displaystyle{ a)}\) i:

\(\displaystyle{ \lambda=1-2\cdot i}\), czyli \(\displaystyle{ a = 1, b = -2}\)

\(\displaystyle{ 2.}\) Zauważmy przede wszystkim, że w bazie jordanowskiej danej zespolonej przestrzeni liniowej mamy pary zespolonych wektorów o sprzężonych współczynnikach. Aby otrzymać bazę rzeczywistej przestrzeni liniowej, w której macierz ma wyznaczoną przez nas (z punktu \(\displaystyle{ 1.}\)) rzeczywistą postać Jordana, należy wektory o współczynnikach zespolonych przekształcić na wektory o współczynnikach rzeczywistych. Tj. niech wektor bazowy \(\displaystyle{ u = v \pm i \cdot w}\), wtedy wektorami bazowymi przestrzeni rzeczywistej będą wektory \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\). W przypadku wyznaczonej przez Ciebie postaci Jordana mamy:

\(\displaystyle{ v_2=\left(
\begin{array}
{c}
1 - i\\
1 + i\\
1
\end{array}\right)
=
\left(
\begin{array}
{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right)
+ i \cdot
\left(
\begin{array}
{c}
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{ v_3=\left(
\begin{array}
{c}
1 + i\\
1 - i\\
1
\end{array}\right)
=
\left(
\begin{array}
{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right)
- i \cdot
\left(
\begin{array}
{c}
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)}\)

Czyli wektory bazowe dla rzeczywistej postaci Jordana to:

\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}
{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),
\left(
\begin{array}
{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right),
\left(
\begin{array}
{c}
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)}\).

[Gogeta]

wow, dzięki wielkie za poświecenie czasu mam nadzieje ze sobie teraz poradze z tym na egzaminie