wymiar i baza podprzestrzeni

[Jo-anna]

Posługując się macierzami współrzędnych i ich minorami, określ wymiary oraz znajdź bazy podprzestrzeni generowanych przez następujące układy:
a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1\\2&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1\\0&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&-1\\4&3\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1\\1&0\end{bmatrix}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2x2}}\);

b) \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}-2x+4}\), \(\displaystyle{ -x^{3}+2x^{2}+5x-1}\), \(\displaystyle{ x^{3}-3x+3}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R _{3[x]}}\).

czyli w a) macierzą współrzędnych będzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&5&2\\-1&1&-1&1\\2&0&4&1\\1&1&3&0\end{bmatrix}}\) ma ona \(\displaystyle{ 4}\) minory i jest rzędu \(\displaystyle{ 3}\). Ale co dalej?

[rafalpw]

Jeżeli masz dany układ generatorów przestrzeni to jej bazą będzie maksymalny liniowo niezależny podukład tego układu. Wystarczy wykonać operacje wierszowe na tej macierzy i doprowadzić do macierzy wierszowo zredukowanej. Jeżeli wyjdzie macierz jednostkowa to znaczy, że cały ten układ jest bazą, a jeśli nie to trzeba wybrać takie \(\displaystyle{ r}\) kolumn, których rząd będzie wynosił \(\displaystyle{ r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to rząd wyjściowej macierzy. Wtedy wybrane kolumny to będą kolumny współrzędnych bazy przestrzeni.