Rzut ortogonalny

[arezz]

Niech \(\displaystyle{ V}\) - zespolona przestrzeń wektorowa(zakładam skończony wymiar chociaż nie wiem czy to potrzebne do tego). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \ker(p) \perp \Im(p)}\). p - rzut ortogonalny
\(\displaystyle{ Pv = w \in \Im(p)}\) . Zakładam, że \(\displaystyle{ v \in \ker(p)}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v|w\right\rangle = \left\langle v|Pv \right\rangle = \left\langle P^{*}v| v \right\rangle}\)

Jak teraz pokazać, że to jest zero?

[Barbara777]

To wynika z tego, ze projekcja jest samosprzezona. Niech \(\displaystyle{ y\in Im(P), \quad u\in ker(P)}\). Wtedy \(\displaystyle{ y=Px}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in H}\) i mamy

\(\displaystyle{ \left\langle y|u\right\rangle= \left\langle Px|u\right\rangle=\left\langle x|Pu\right\rangle=\left\langle x|0\right\rangle=0}\)