podprzestrzeń liniowa domknięta

[JakubCh]

Czy mógłby mi ktoś napisać, czym różni się dowolna podprzestrzeń liniowa od przestrzeni liniowej domkniętej?
Byłbym wdzięczny za jakieś przykłady podprzestrzeni liniowej domkniętej i takiej, która nie jest domknięta.

Pozdrawiam

[yorgin]

Tym, że ta pierwsza nie musi być domknięta



Tak na poważnie, weźmy przestrzeń ciągów \(\displaystyle{ c_{00}=\{(a_n): \forall ! n \ a_n=0\}}\)

Jest to podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ c_0}\) ciągów zbieżnych do zera, która nie jest domknięta.

W obu przestrzeniach bierzemy normy supremowe.



Przykład pozytywny jest łatwy. \(\displaystyle{ X=\RR^2}\), \(\displaystyle{ Y=\{(0,0)\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ Y}\) jest domkniętą podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\).

[JakubCh]

hmm.. a czemu w pierwszym przypadku przestrzeń nie jest domknięta? niestety nie ogarniam części wykładów z początku roku ;(

[yorgin]

Rozważ ciąg

\(\displaystyle{ a=(a_n):\qquad a_n=\frac{1}{n}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ a\in c_0}\) - jest ciągiem zbieżnym do zera.

Rozważ teraz ciąg ciągów

\(\displaystyle{ (b^n)_{n\in\NN}:\qquad b^n_k= \begin{cases} a_k & k\leq n \\ 0 & k>n\end{cases}}\)

Każde \(\displaystyle{ b^n\in c_{00}}\)

Policz teraz \(\displaystyle{ ||b^n-a||_\infty}\)

[Spektralny]

Co ciekawe \(\displaystyle{ c_{00}}\) nie jest domknięta w żadnej przestrzeni Banacha, która ją fizycznie zawiera (\(\displaystyle{ \ell_p}\), , przestrzeń Schreiera itp) ponieważ ma przeliczalną bazę Hamela.

Podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która ma przeliczalną bazę Hamela nie jest domknięta. Gdyby była domknięta to sama byłaby przestrzenią Banacha, ale to jest sprzeczność z twierdzeniem Baire'a. Rzeczywiście, niech \(\displaystyle{ X=\mbox{span}\{x_n\colon n\in \mathbb{N}\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \{x_n\colon n\in \mathbb{N}\}}\) są liniowo niezależne. Wówczas

\(\displaystyle{ X = \bigcup_{n=1}^\infty \mbox{span}\{x_1, \ldots, x_n\}}\),

jednak każda podprzestrzeń właściwa przestrzeni Banacha ma puste wnętrze, więc żadna z przestrzeni \(\displaystyle{ \mbox{span}\{x_1, \ldots, x_n\}}\) nie jest drugiej kategorii.