Przykład podprzestrzeni wektorowej

[arezz]

Podać przykład podprzestzeni wektorowej takiej, że \(\displaystyle{ W^{\perp \perp} \neq W}\).

Jakaś podpowiedź?

[robertm19]

A czy to nie jest zawsze równość?

[arezz]

Oczywiście, że nie. Mam jeden przykład, który wydaje mi się za bardzo zaawansowany i szukam innych propozycji.

[JakimPL]

Jeżeli się nie mylę, trzeba szukać w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych niedomkniętych.

\(\displaystyle{ W^{\perp \perp}= \cl\ \text{lin}\, W}\)

Nie jestem ekspertem i mogę się mylić.

[arezz]

Niech \(\displaystyle{ V = l^2(\NN)}\)

\(\displaystyle{ V : = \left\{ f \in \Map(\NN,\CC) : \sum_{\NN}^{} |f(n)|^2 < \infty \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\langle f | g\right\rangle = \sum_{n}^{} \bar{f}_ng_n}\)
\(\displaystyle{ W= \oplus_{\NN} \CC}\) - skończone ciągi sumowalne z kwadratem prostopadłe do W. \(\displaystyle{ e_n}\) - baza kanoniczna to \(\displaystyle{ \left\langle e_n | f\right\rangle = 0}\), co implikuje \(\displaystyle{ f=0}\) . Taki mam przykład podany, niestety kompletnie nie rozumiem dlaczego działa.

Czy jest jakiś inny, prostszy?