wyznaczyć bazę

[lalka011]

Wyznacz bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V=V_{1} + V_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ V_{1}=lin \left( \left[\begin{array} {ccc} 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc} 3 \\ 0 \\1\end{array}\right] \right) , V_{2} =lin \left( \left[\begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] \right)}\).

Obliczam rząd macierzy \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 2&0&1 \\ 1&1&1 \end{array}\right]}\), który jest równy 2 i teraz utknęłam bo zawsze miałam przypadki, że rząd był równy 3, czyli wektory lnz, zatem tworzą bazę przestrzeni, co zrobić w takiej sytuacji?

[szw1710]

Generator \(\displaystyle{ V_2}\) jest liniowo zależny z generatorami \(\displaystyle{ V_1}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ V_2\subset V_1}\). Co to może oznaczać?

[lalka011]

bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest generator \(\displaystyle{ V_{2}}\)?

[szw1710]

Nie. Zastanów się nad inkluzją, którą napisałem. Jaką przestrzenią jest \(\displaystyle{ V_1+V_2}\)?

[lalka011]

bazą są wektory \(\displaystyle{ V_{1}}\)

[szw1710]

Tak jest, albowiem elementy sumy \(\displaystyle{ V_1+V_2}\) są postaci \(\displaystyle{ v_1+v_2}\), a skoro \(\displaystyle{ v_2\in V_2\subset V_1}\), to każda suma powyższej postaci jest kombinacją liniową generatorów z \(\displaystyle{ V_1}\).

[lalka011]

dziękuję bardzo, nie mogłam zauważyć tej liniowej zależności na początku, ale teraz już wszystko rozumiem -- 31 maja 2013, o 10:00 --a mogłabym jeszcze prosić o pomoc przy zadaniu:
wyznaczyć przestrzeń wektorów ortogonalnych do hiperpłaszczyzny opisanej krawędziowo:
\(\displaystyle{ H: \begin{cases} 2x-3z+u=1 \\ y+z-u=2 \end{cases}}\)
i znaleźć bazę tej przestrzeni.

z równania krawędziowego można odczytać wektory ortogonalne, zatem szukana przestrzeń to \(\displaystyle{ V=lin([2,0,-3,1],[0,1,1,-1])}\) i oczywiście znów mam problem z bazą