układ równań - sprzeczny
-
michal422
układ równań - sprzeczny
Mając dany układ dwóch równań liniowych wskaż warunek dostateczny sprzeczności układu.
Ostatnio zmieniony 30 maja 2013, o 15:42 przez michal422, łącznie zmieniany 2 razy.
-
michal422
układ równań - sprzeczny
Przepraszam - zmieniłem pytanie, tak może będzie bardziej zrozumiałe.
Mając damy układ w postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}}\)
Mając damy układ w postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}}\)
-
omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
układ równań - sprzeczny
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego mamy sprzeczność układu gdy:
\(\displaystyle{ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \neq \mathrm{rank}\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ \end{bmatrix}}\)
Rząd obu macierzy może być równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Gdy jest on dla pierwszej z nich równy \(\displaystyle{ 2}\) w oczywisty sposób układ nie jest sprzeczny. Rząd pierwszej macierzy będzie równy \(\displaystyle{ 1}\) gdy:
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} = a_1b_2-a_2b_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ a_1b_2 = a_2b_1}\)
Aby rząd drugiej był różny od tegoż pierwszej, jej inny minor musi być niezerowy:
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{bmatrix} = a_1c_2-a_2c_1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ a_1c_2 \neq a_2c_1}\)
Podsumowując powyższe mamy, warunek na sprzeczność powyższego układu:
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}\)
\(\displaystyle{ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \neq \mathrm{rank}\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ \end{bmatrix}}\)
Rząd obu macierzy może być równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\). Gdy jest on dla pierwszej z nich równy \(\displaystyle{ 2}\) w oczywisty sposób układ nie jest sprzeczny. Rząd pierwszej macierzy będzie równy \(\displaystyle{ 1}\) gdy:
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} = a_1b_2-a_2b_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ a_1b_2 = a_2b_1}\)
Aby rząd drugiej był różny od tegoż pierwszej, jej inny minor musi być niezerowy:
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{bmatrix} = a_1c_2-a_2c_1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ a_1c_2 \neq a_2c_1}\)
Podsumowując powyższe mamy, warunek na sprzeczność powyższego układu:
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}\)
-
michal422
układ równań - sprzeczny
czy jest to warunek dostateczny czy konieczny?
Myślę, że dostateczny; warunek dostateczny to założenia,więc jeśli założenia nie będą spełnione to układ nie będzie sprzeczny, ale nie wie czy dobrze rozumuje.
Myślę, że dostateczny; warunek dostateczny to założenia,więc jeśli założenia nie będą spełnione to układ nie będzie sprzeczny, ale nie wie czy dobrze rozumuje.