Dowód :
\(\displaystyle{ d(H_1,H_2)=inf\{d(p,q):p\in H_1 \wedge q\inH_2\}}\)
Wiemy, że :
\(\displaystyle{ d(H_1,H_2)=d(p,q)}\)
\(\displaystyle{ p\in H_1, q\in H_2}\)
\(\displaystyle{ af(p,q) /perp H_1}\)
\(\displaystyle{ af(p,q) /perp H_2}\)
Wiemy, że :
\(\displaystyle{ d(H_1,H_2)=d(p,q) \ge inf\{d(p,q):p\in H_1 \wedge q\inH_2\}}\)
Dla konkretnych \(\displaystyle{ p,q}\)
Ust dow \(\displaystyle{ p\in H_1, q\in H_2}\)
\(\displaystyle{ H_1=p_1+U_1}\)
\(\displaystyle{ H_2=p_2+U_2}\)
\(\displaystyle{ U=U_1+U_2}\)
\(\displaystyle{ V=U+U^{/perp}}\)
Gdzie powyższa suma jest sumą prostą.
\(\displaystyle{ a\in U}\)
\(\displaystyle{ b\in U^{/perp}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ d(H_1,H_2)=||b||}\)
\(\displaystyle{ a=a_1+a_2 , a_1\in U_1, a_2 \in U_2}\)
\(\displaystyle{ p:=p_1+a_1}\)
\(\displaystyle{ q:=p_2-a_2}\)
Nietrudno zauważyć : \(\displaystyle{ p_1 p_2 ^{ \rightarrow } = a+b}\)
Obliczmy \(\displaystyle{ pq^{ \rightarrow } = p_1 p_2 ^{ \rightarrow } - (a_1+a_2) = p_1 p_2 ^{ \rightarrow } - a = a+b-a=b}\)
\(\displaystyle{ ||p_1 p_2 ^{ \rightarrow }|| = \sqrt{||a||^2+||b||^2} \ge ||b||=d(p,q) =d(p,q)=d(H_1,H_2)}\)
W wyniku czego otrzymaliśmy tezę.
/perp to prostopadły
ok? dodalibyście coś?