Znajdź bazy i wymiar przestrzeni.

[Pietrzak93]

Przestrzeń \(\displaystyle{ L_1}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) złożoną z rozwiązań układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y - z + 3t =0\\2x + 5 +2z +4t =0\end{cases}}\)

a \(\displaystyle{ L_2}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) generowaną przez wektory \(\displaystyle{ (1,1,2,2); (1,-1,3,3) ;(1,2,3,4)}\)
Znajdź bazy oraz wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ L_1}\) , \(\displaystyle{ L_2}\) oraz \(\displaystyle{ L_1 \cap L_2}\)

Proszę o pomoc z tym zadaniem, ponieważ kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, a muszę to w końcu zrozumieć.

Układ wyszedł taki:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-9&1\\0&1&4&-2\end{array}\right]}\)

Czyli jeżeli dobrze rozumiem to zapisać to można tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x=9z+t\\y=-4z+2t\\z\\t\end{array}\right] = z \left[\begin{array}{cccc}9\\-4\\1\\0\end{array}\right] + t \left[\begin{array}{cccc}1\\2\\0\\1\end{array}\right]}\)

Czyli bazą \(\displaystyle{ L_1}\) jest \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}9\\-4\\1\\0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}1\\2\\0\\1\end{array}\right]}\)

tak? A co z drugą podprzestrzenią?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ L_1}\) dobrze (chociaż nie sprawdzałem przekształceń na macierzy).
W \(\displaystyle{ L_2}\) sprawa jest jeszcze prostsza, bo już masz dany układ generatorów, więc albo on cały, albo tylko jego część będzie bazą. Trzeba tylko coś jeszcze sprawdzić. Wiesz co?

[Pietrzak93]

Liniową niezależność tej macierzy?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1\\1&-1&2\\2&3&3\\2&3&4\end{array}\right]}\)

Tylko nie wiem jak to zrobić, ponieważ żeby wyliczyć wyznacznik potrzebuje kwadratowej macierzy, tutaj niestety takowej nie mam.

[rafalpw]

Masz sprawdzić, czy układ wektorów jest niezależny. Nie ma czegoś takiego jak liniowa niezależność macierzy.
Układ wektorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest niezależny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ rz M_{\mathcal{B}}\left( \mathcal{A}\right)=n}\) , gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest bazą przestrzeni a \(\displaystyle{ n}\) to liczba wektorów w układzie(czyli liczba kolumn macierzy)

[Pietrzak93]

Czyli mam sprowadzić tą macierz do postaci górnoschodkowej tak?
Jeżeli dobrze to zrobiłem to:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

Dobrze? I jak obliczyć wymiar przestrzeni?

[rafalpw]

Okej. Najpierw wyciągnij wnioski. Ten układ jest liniowo niezależny, czy nie?

[Pietrzak93]

Wydaje mi się że jest.

[rafalpw]

Dobrze Ci się wydaje, chociaż lepiej by było jakbyś wiedział.

Więc czym jest: \(\displaystyle{ \left( \left( 1,1,2,2\right) , \left( 1,-1,3,3\right) ,\left( 1,2,3,4\right) \right)}\)?

[Pietrzak93]

Jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ L_2}\)
A co z wymiarem?

[rafalpw]

A czym jest wymiar?

[Pietrzak93]

No własnie tak do końca to nie wiem, a nie będę tutaj wklejał formułek z wikipedii bo to sensu nie ma.
Ale wydaje mi się z tego co pamiętam że wymiar \(\displaystyle{ L_2}\) będzie równy trzy ponieważ są trzy schodki. Natomiast w \(\displaystyle{ L_1}\) nie mam pojęcia.

[rafalpw]

Wymiarem przestrzeni nazywamy liczbę wektorów bazy. To jest cała definicja.

[Pietrzak93]

czyli

\(\displaystyle{ dimL_1 = 2 \\

dimL_2 = 3}\)

tak?

[rafalpw]

Tak.

[Pietrzak93]

A co z \(\displaystyle{ L_1 \cap L_2}\)? Tutaj to już wgl nie czaję jak to wgl zacząć.