Suma prosta podprzestrzeni

[rafalpw]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią skończenie wymiarową nad nieskończonym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\).
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ S_1,...,S_k}\) są podprzestrzeniami \(\displaystyle{ V}\) o takim samym wymiarze, to istnieje podprzestrzeń \(\displaystyle{ T}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) taka, że

\(\displaystyle{ V=S_i\oplus T}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...k}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ \dim V= \dim S_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,k}\) sytuacja jest oczywista, bo wtedy \(\displaystyle{ T}\) jest przestrzenią zerową.

Oznaczmy \(\displaystyle{ \dim S_i=p}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,k}\) i \(\displaystyle{ \dim V=n}\)
Rozważmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ p<n}\).
Wystarczyłoby pokazać, że istnieją takie: \(\displaystyle{ \left( v_1,...,v_{n-p}\right)}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( \mathcal{B}_i, v_1,...,v_{n-p}\right)}\) jest liniowo niezależny dla \(\displaystyle{ i=1,...,k}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{B}_i}\) jest bazą \(\displaystyle{ S_i}\)

Jak pokazać, że taki układ istnieje? A może prościej to zrobić w inny sposób?

[robertm19]

Nie wiem czy dobrze myślę. Weźmy \(\displaystyle{ V=R^3}\)
\(\displaystyle{ S_{1}=lin\{(1,0,0),(0,1,0)\}}\)
\(\displaystyle{ S_{2}=lin\{(1,0,0),(0,0,1)\}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ dimS_{1}=dimS_{2}=2}\),
ale \(\displaystyle{ V=S_{1}\oplus T_{1}}\) i \(\displaystyle{ V=S_{2}\oplus T_{2}}\).
Widać, że \(\displaystyle{ T_{1}=lin\{(0,0,1)\}}\), a \(\displaystyle{ T_{2}=lin\{(0,1,0)\}}\).
Co przeczy temu co napisałeś.

[yorgin]

robertm19, rozważ \(\displaystyle{ T=\mbox{lin}\{(1,1,1)\}}\). Co wtedy?

rafalpw, spróbuj udowodnić najpierw to twierdzenie dla jednowymiarowych esów. Gdybyśmy mieli \(\displaystyle{ V=\RR^3}\) oraz \(\displaystyle{ S_i=\mbox{lin}\{a_i\}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_i\in\RR^3}\), to wystarczyłoby wziąć za \(\displaystyle{ S}\) przestrzeń generowaną przez dowolne dwa liniowo niezależne wektory, które nie należą do zbioru \(\displaystyle{ V\setminus \bigcup_i S_i}\). To tylko idea, pierwsza myśl, która przyszła mi do głowy. Wydaje się, że powinno się to dać uogólnić na dowolne wymiary.

[robertm19]

yorgin, rzeczywiście wychodzi
rafalpw, Twierdzenie Steinza zapwenia takie wektiry, tylko że dla każdego "i" będą inne, więc co to da?