Znak wyznacznika formy kwadratowej

[arezz]

Pokazać, że znak wyznacznika formy kwadratowej \(\displaystyle{ \alpha : \RR^n \rightarrow \RR}\) nie zależy od wyboru bazy. Z czego skorzystać? Czy wystarczy pokazać, że wyznacznik nie zależy od wyboru bazy, czy trzeba jakieś dodatkowe warunki narzucić?

[yorgin]

Skorzystaj z i własności sygnatury formy kwadratowej.

[Spektralny]

Względnie , która stara się wydukać hasło, które kiedyś napisałem

[arezz]

Czyli biorę rozkład \(\displaystyle{ V = V_{+} \oplus V_{-} \oplus V_{0}}\) i drugi rozkład \(\displaystyle{ V = W_{+} \oplus W_{-} \oplus W_{0}}\) Teraz mam, że \(\displaystyle{ V_{+} \cap (W_{-} \oplus W_{0}) = 0}\) czyli \(\displaystyle{ \dim V_{+} + dim(W_{-} \oplus W_{0} ) \le n (\dim V=n)}\) i teraz \(\displaystyle{ \dim V_{+} \le \dim W_{+}}\) oraz \(\displaystyle{ \dim W_{+} \le \dim V_{+}}\) co kończy dowód twierdzenia Sylvestera. Czy automatycznie z tego mogę wywnioskować, że znak wyznacznika po prostu się nie zmienia, skoro mam dwa rozkłady i taką samą ilość dodatnich i ujemnych znaków? Teraz jest kolejne pytanie: Jaki musi być znak wyznacznika żeby forma \(\displaystyle{ \alpha}\) była ujemnie określona? Czy odpowiedź to po prostu same minusy, a może tak jak w kryterium Sylvestera?

[yorgin]

Dowód przeprowadzasz dziwnie i niepoprawnie. Poza tym wcale taki prosty nie jest. Bo niby dlaczego odpowiednie przecięcia są zerowe?

Czy automatycznie z tego mogę wywnioskować, że znak wyznacznika po prostu się nie zmienia, skoro mam dwa rozkłady i taką samą ilość dodatnich i ujemnych znaków? Teraz jest kolejne pytanie: Jaki musi być znak wyznacznika żeby forma \(\displaystyle{ \alpha}\) była ujemnie określona? Czy odpowiedź to po prostu same minusy, a może tak jak w kryterium Sylvestera?

1. Nie.
2. Znak wyznacznika głównego niewiele powie. Kryterium Sylvestera za to wszystko powie.

[arezz]

W takim razie z czego to wynika? (O tym znaku). Dowód wziąłem z książki Prasolov - Problems and theorems in Linear Algebra. Dlaczego jest zły?

[yorgin]

Z tego, że sygnatura jest stała i niezależna od bazy. Wszystko masz napisane w linku, który Ci podałem.