Oznaczmy \(\displaystyle{ S=\left\{ (x,y) \in \RR^2 \ : \ x^2+y^2=1 \right\}}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie odwzorowaniem, \(\displaystyle{ L:(x,y) \mapsto (x+y,y)}\). Niech \(\displaystyle{ E=L(S)}\). Opisać zbiór \(\displaystyle{ E}\) równaniem algebraicznym.
Mam problem z tym zadaniem, proszę o pomoc.
Opisać zbiór równaniem algebraicznym
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Opisać zbiór równaniem algebraicznym
I sposób:
Jak sparametryzujemy \(\displaystyle{ S}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ \{(\cos t,\sin t): t\in [0,2\pi)\}.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ L(S)=\{(\cos t+\sin t,\sin t):t\in [0,2\pi)\}.}\)
Ten ostatni zbiór można opisać równaniem \(\displaystyle{ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x-y)^2+y^2=1\},}\) czyli wygląda to na elipsę.
II sposób (bez parametryzacji):
\(\displaystyle{ (x,y)\in L(S) \Leftrightarrow L^{-1}(x,y)\in S \Leftrightarrow (x-y,y)\in S \Leftrightarrow (x-y)^2+y^2=1.}\)
Jak sparametryzujemy \(\displaystyle{ S}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ \{(\cos t,\sin t): t\in [0,2\pi)\}.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ L(S)=\{(\cos t+\sin t,\sin t):t\in [0,2\pi)\}.}\)
Ten ostatni zbiór można opisać równaniem \(\displaystyle{ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x-y)^2+y^2=1\},}\) czyli wygląda to na elipsę.
II sposób (bez parametryzacji):
\(\displaystyle{ (x,y)\in L(S) \Leftrightarrow L^{-1}(x,y)\in S \Leftrightarrow (x-y,y)\in S \Leftrightarrow (x-y)^2+y^2=1.}\)