przestrzeń afiniczna

[Majka99]

Mam za zadanie udowodnić następujące równoważności :
1.\(\displaystyle{ p+\alpha=p+\beta \iff \alpha=\beta}\),gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) są wektorami.
2.\(\displaystyle{ p+\alpha=q+\alpha \iff p=q}\)

Czy mogłabym prosić o wskazówki do jednego z nich jak się za to zabrać,bo podjerzewam że pozniej bedzie sie robilo kolejne przyklady analogicznie.

[Spektralny]

Co to znaczy bd?

Założmy, że \(\displaystyle{ p+\alpha = p + \beta}\). Wówczas \(\displaystyle{ p+(\alpha - \beta) = p}\). Z czwartego aksjomatu przestrzeni afinicznej (dla wszelkich \(\displaystyle{ a,b\in S}\) istnieje dokładnie jeden taki wektor \(\displaystyle{ v}\), że \(\displaystyle{ a+v = b}\)) wniosimy, że \(\displaystyle{ \alpha- \beta = 0}\), tj. \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\). \(\displaystyle{ \square}\)

[Majka99]

Ok,a co z impikacja w druga strone ?

[Spektralny]

A z czym masz trudność w implikacji w drugą stronę?

[Majka99]

Ustalam sobie że \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\) z tego mam że \(\displaystyle{ \alpha-\beta=0}\) i jak teraz dojść do punktów ?

[Spektralny]

Chyba \(\displaystyle{ p+\alpha = p+\alpha}\) czyż nie?

[Majka99]

I teraz moge sobie podstawic za \(\displaystyle{ \alpha}\) bete i koniec ?