Wyznaczanie macierzy diagonalnej podobnej do danej macierzy

[Majka99]

Mam jeszcze jedno pytanie :

Mam za zadanie wyznaczyć macierz podobną diagonalna do macierzy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\).I tak,wiem,że macierz podobna \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ A}\) to macierz posiadająca macierz nieosobliwą,taką,że\(\displaystyle{ A=C^-1 \cdot B \cdot C}\),mam daną macierz A.Jak w takim razie wyznaczyć macierz do niej podobną z tego wzorku ?

Nowe pytanie do innego zagadnienia - nowy temat.
Smigol.

[yorgin]

Do wyznaczania diagonalizacji \(\displaystyle{ B}\) oraz macierzy przejścia \(\displaystyle{ C}\) najlepiej działa teoria Jordana. A więc liczenie wielomianu charakterystycznego, wartości własnych oraz wektorów własnych.

[Majka99]

Czyli,tak :
Z tej macierzy \(\displaystyle{ A}\) liczę wartości i wektory własne,i wektory własne które mi wyjd to kolejne kolumny macierzy \(\displaystyle{ C}\).Potem z tego liczę odwrotną do \(\displaystyle{ C}\) macierz i wstawiam do wzoru.Dobrze zrozumiałam ?

[yorgin]

Tak, wszystko się zgadza.

Ale, Macierzy \(\displaystyle{ C}\) nie musisz liczyć, tego nie wymaga treść zadania. Masz znaleźć tylko \(\displaystyle{ B}\).

[Majka99]

Ale żeby to zrobić nie potrzebuje macierzy \(\displaystyle{ C}\) ?

[yorgin]

Wyznaczenie macierzy \(\displaystyle{ B}\) nie wymaga o dziwo znajomości macierzy \(\displaystyle{ C}\). Macierz przejścia wyznacza się wtedy, gdy jest to potrzebne, na przykład przy rozwiązywaniu układu równań różniczkowych metodą Jordana.

Macierz \(\displaystyle{ B}\) wyznacza się po prostu składając ją z wartości własnych. Dopiero w zależności od krotności wartości własnych pojawia się potrzeba szukania wektorów własnych, które to wpływają na kształc macierzy \(\displaystyle{ B}\).

[Majka99]

Czyli jak w moim przykladzie wyszly 3 wartosci wlasne,tj:\(\displaystyle{ \alpha_1=1,\alpha_2=(3+\sqrt{5})/2,\alpha_3=(3-\sqrt{5})/2}\) I musze liczyc wektory wlasne dalej ?

[yorgin]

Tego nie wymaga treść zadania.

Jeśli jednak chcesz dla treningu/ćwiczenia, to możesz znaleźć wektory własne oraz macierz przejścia \(\displaystyle{ C}\).

[Majka99]

Ok w takim razie,odpowiedzią na pytanie zadane w zadaniu jest macierz B na ktorej przekatnej stoja wartosci wlasne i koniec tak ?

[yorgin]

Mnie taka odpowiedź całkowicie by satysfakcjonowała. Niemniej nie wiem, czego może wymagać Twój Ćwiczeniowiec - być może będzie chciał macierzy przejścia.