Określoność macierzy - sprawdzenie

[Tifulo]

Zbadaj określoność macierzy:

1) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{bmatrix}}\)

2) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -9&3&0\\3&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)


1) Nieokreślona
2) Ujemnie półokreślona

Dobrze?

[fon_nojman]

Rozumiem, że korzystałeś z Kryterium Sylvestera ale ono mówi tylko o dodatniej lub ujemnej określoności macierzy. W przypadku badania pół-określoności bada się np. wartości własne macierzy czy są one wszystkie nieujemne albo niedodatnie.

Możliwe, że są wersje Kryterium Sylvestera do badania pół-określoności macierzy ale jakoś ich nie kojarzę, jeśli takie znasz to podaj.

[Tifulo]

Twierdzenie (kryterium Sylvestera). Niech \(\displaystyle{ \varphi \ : \ \RR^k \rightarrow \RR}\) (symetryczna) forma kwadratowa o macierzy \(\displaystyle{ M=\left[ a_{i,j}\right]^k_{i,j=1}}\). Wtedy:

1) \(\displaystyle{ \varphi}\) nieujemnie określona \(\displaystyle{ \iff}\) każdy minor główny macierzy \(\displaystyle{ M}\) jest nieujemny

2) \(\displaystyle{ \varphi}\) niedodatnio określona \(\displaystyle{ \iff}\) każdy minor główny macierzy \(\displaystyle{ M}\) stopnia \(\displaystyle{ l}\) (dla \(\displaystyle{ l=1,...,k}\)) pomnożony przez \(\displaystyle{ (-1)^l}\) jest nieujemny

Dodatniej i ujemnej określoności nie podaję, bo to łatwo dostępne.

[fon_nojman]

1) Rzeczywiście jest macierzą nieokreśloną bo np. wyznacznik \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\2&3\end{bmatrix}}\) wynosi \(\displaystyle{ -1.}\)

2) Też jest nieokreślona bo np. wyznacznik \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -9&0\\0&1\end{bmatrix}}\) wynosi \(\displaystyle{ -9.}\)

Te dwa minory co podałem są ujemne i stopnia \(\displaystyle{ 2}\) więc z twierdzenia, które podałeś te macierze są nieokreślone bo inaczej minory stopnia \(\displaystyle{ 2}\) byłyby nieujemne.

[Tifulo]

Machnąłem się w przepisywaniu, w drugiej powinno być:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -9&3&0\\3&-1&0\\0&0& \red -1\end{bmatrix}}\)

[fon_nojman]

To teraz się zgadza, druga jest niedodatnio określona.