Wykaż, że odwzorowanie jest przekształceniem liniowym

[Blackq]

Wykaż, że odwzorowanie φ : \(\displaystyle{ R \left[ X \right] _{2}}\)→ \(\displaystyle{ R \left[ X \right] _{2}}\) jest przekształceniem liniowym oraz wyznacz wszystkie wartości własne tego przekształcenia, jeśli:

a) \(\displaystyle{ \varphi \left( f \left( X \right) \right) = f \left( 2X + 1 \right)}\),
b) \(\displaystyle{ \varphi \left( f \left( X \right) \right) = f' \left( X \right)}\).

[Spektralny]

Czy znasz reguły różniczkowania? To jest właśnie b). Napisz gdzie dokładnie masz problem w a).

[Blackq]

Różniczkowanie znam. Nie wiem ogólnie jak się za to zadanie zabrać

W ogóle co oznacza \(\displaystyle{ R[X] _{n}}\)

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \mathbb{R}[X]_n}\) to przestrzeń liniowa wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\).

Pochodna wielomianu jest wielomianem, to nie ulega wątpliwości.

Z podstawowych wzorów na różniczkowanie:

\(\displaystyle{ (f+g)^\prime = f^\prime + g^\prime}\)

\(\displaystyle{ (af)^\prime = af^\prime}\)

wynika, że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest liniowe.

[Blackq]

Po 2 dniach ogarniania nadal nic nie kumam i nie potrafię tego zrobić...
Oj ty Matematyko królowo problemów !

[ares41]

Ale czego konkretnie nie rozumiesz ?
Przeczytaj uważnie poprzedni post.

[Blackq]

Nie wiem nawet jak to zacząć, co najpierw liczyć, jak to zapisać, ogólnie więcej nie wiem niż wiem..
Algebrę ogarniałem do rozwiązywaniu układów równań metodą macierzową, potem to była dla mnie tylko czarna magia

[ares41]

Ppkt b) został już wyżej zrobiony.

To po kolei. Znasz warunki jakie muszą być spełnione, żeby \(\displaystyle{ \varphi}\) było odwzorowaniem liniowym ?

[Blackq]

Takie jakie Spektralny napisał wyżej ?
\(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) + f(y)}\)
\(\displaystyle{ f(ax) = af(x)}\)

[ares41]

Tak. Należy jeszcze sprawdzić jedną rzecz - a mianowicie to, czy to co dostajemy na wyjściu należy do \(\displaystyle{ \RR[X]_{2}}\). ( Takie mamy założenie o tym odwzorowaniu w treści zadania ).

Przeanalizuj jeszcze raz zrobiony ppkt b) i spróbuj zapisać to analogicznie dla ppkt a). Zapisz tutaj to do czego doszedłeś, sprawdzimy.

[Blackq]

\(\displaystyle{ f(x + y ) = f(2x+1) + f(2y+1)}\)
\(\displaystyle{ f(ax) = af(2x+1)}\)

[ares41]

Nie. Czym jest u Ciebie \(\displaystyle{ f}\) ? Wielomianem czy zmieniłeś oznaczenie dla \(\displaystyle{ \varphi}\) ?

[Blackq]

\(\displaystyle{ \varphi(f(x)+f(y)) = \varphi(f(2x +1)) + \varphi(f(2y+1))}\)
\(\displaystyle{ \varphi(af(x)) = a\varphi(f(2x+1))}\)
Jeśli nie tak to serio nie wiem jak.

[ares41]

Podstawowy błąd - elementami tej przestrzeni są wielomiany ! Nie możesz więc rozpatrywać "iksów i igreków".
Bierzesz dwa dowolne wielomiany \(\displaystyle{ f,g}\) stopnia co najwyżej drugiego i sprawdzasz czy zachodzi :
\(\displaystyle{ \varphi((f+g)(X))=\varphi(f(X))+\varphi(g(X))\\ \varphi(af(X))=a\varphi(f(X))\\ \varphi(f(X))\in \RR[X]_{2}}\)

[Blackq]

Jak zachodzi to potem co dalej z tym robić?

Nachętniej to zapłaciłbym za rozwiązanie tego zadania, ponieważ mam jakąś godzinę, żeby go rozwiązać, a to graniczy z cudem :]