obrazy wektorów

[mz93]

Ktoś naprowadzi mnie jak to ugryźć?

Niech \(\displaystyle{ g: R^{2} \rightarrow R^{2}}\) i \(\displaystyle{ g}\) będzie przekształceniem liniowym takim, że:
\(\displaystyle{ g((1,1)) = (1,0) , g((1,-1)) = (0,1).}\)
Wyznacz obrazy wektorów \(\displaystyle{ u_{1}= (1,0) , u_{2}=(0,2)}\) w tym przekształceniu liniowym.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ (1,0) = \tfrac{1}{2}( (1,1) + (1,-1) )}\)

\(\displaystyle{ g((1,0)) = \tfrac{1}{2} (1,0) + \tfrac{1}{2}(0,1)}\)

[mz93]

Nie rozumiem czemu akurat taka kombinacja liniowa

[Spektralny]

Wektory \(\displaystyle{ (1,1), (1, -1)}\) są liniowo niezależne więc tworzą bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Oznacza to, że każdy niezerowy wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) można zapisać na dokładnie jeden sposób przy pomocy kombinacji liniowej tych dwóch wektorów. W przypadku \(\displaystyle{ (1,0)}\) bardzo łatwo zgadnąć, że współczynniki są właśnie takie.