Sprawdzenie - czy to przestrzeń liniowa

[mk321]

Proszę o pomoc w dwóch zadaniach. Najbardziej mi zależy na Zad2, żeby zrobić. Proszę też aby za bardzo nie komplikować. Ja miałem z tego tylko podstawy podstaw np. sprawdzanie czy \(\displaystyle{ (R,+)}\) to grupa (po prostu za pomocą podstawienia liczb do wzorów). A teraz muszę zrobić to.

Zad1.

Sprawdzić czy to przestrzeń liniowa:
\(\displaystyle{ (W,R, +, *)}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ W}\): wielomian stopnia z \(\displaystyle{ n \le 1}\)

Czyli sprawdzam 8 warunków ():
Warunek 1:
\(\displaystyle{ [3x+2]+([4x+3]+[2x+1])=([3x+2]+[4x+3])+[2x+1] \\
L=3x+2+4x+3+2x+1=9x+6 = P}\)
Czyli prawda. I tak samo sprawdzam kolejne warunki. W każdym wychodzi mi prawda.
Czyli według mnie, jest to przestrzeń liniowa. A coś mi się wydaje, że powinno nie wyjść.


Zad2.

Wykazać, że zbiór wszystkich n-elementowych kolumn z operacjami dodawania macierzy i mnożenie na skalar spełnia warunki przestrzeni liniowej.

Tu w ogóle nie rozumiem polecenia. Jak to "n-elementowych" kolumn (jakaś macierz o jednym wierszu co jak)? Co tam mam podstawiać do tych wzorów?

[Spektralny]

Zależy Ci na ?

\(\displaystyle{ [3x+2]+([4x+3]+[2x+1])=([3x+2]+[4x+3])+[2x+1] \\
L=3x+2+4x+3+2x+1=9x+6 = P}\)
Czyli prawda. I tak samo sprawdzam kolejne warunki. W każdym wychodzi mi prawda.
Czyli według mnie, jest to przestrzeń liniowa. A coś mi się wydaje, że powinno nie wyjść.

Powinieneś to sprawdzać na dowolnych wielomianach, nie szczególnych. Jakiej postaci jest dowolny wielomian?

Odnośnie drugiej części pytania, autor ma na myśli zbiór

\(\displaystyle{ \big\{\left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right]\colon a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\big\},}\)

czyli nic innego jak \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

[mk321]

U nas robili to zadanie 1 na liczbach (tylko może inny wielomian trzeba było wybrać, lub w którymś warunku zauważyć, że nie będzie spełniony). Może nie było to jakoś ściśle matematycznie, ale podobno wychodziło dobrze. A to zadanie 2 to już właśnie w takiej postaci wielomianowej (ale nie wiem jak).

Dowolny wielomian jest postaci:
\(\displaystyle{ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}\)
A że tu jest stopnia 1 lub 0 to będzie:
\(\displaystyle{ a x + b}\)
Czyli warunek 1 powinien być sprawdzany tak:
\(\displaystyle{ [ax + b] +([ax + b]+[ax + b]) = [ax + b] + ([ax + b]+[ax + b]) \\
L = 3ax + 3b = P}\)
Dobrze myślę?

W tym drugim zadaniu dalej nie rozumiem jak ma to wyglądać. Mógłbyś napisać pierwszy warunek, a ja zrobię resztę?

[Spektralny]

U nas robili to zadanie 1 na liczbach (tylko może inny wielomian trzeba było wybrać, lub w którymś warunku zauważyć, że nie będzie spełniony). Może nie było to jakoś ściśle matematycznie, ale podobno wychodziło dobrze.

Dziadostwo. Powinieneś sprawdzać te warunki na wielomianach \(\displaystyle{ ax+b, cx+d, gx+h}\) itp. Warunek łączności do sprawdzenia raz jeszcze.

[mk321]

\(\displaystyle{ [ax + b] +([cx + d]+[ex + f]) = ([ax + b] + [cx + d])+[ex + f]) \\
L = [ax+b]+(cx+ex+d+f) = ax+cx+ex+b+d+f \\
P = (ax+cx+b+d) + [ex+f] = ax+cx+ex+b+d+f \\
L = P}\)
To dalej powinienem już umieć (w końcu w tym wyjdzie we wszystkich prawda czy nie?).

A z drugim to będzie jakiś wielomian z n elementami? Tylko jak to sprawdzać?