macierz funkcjonalu dwuliniowego

[leszczu450]

Cześć.

Mam sprawdzić czy funkcjonał dwuliniowy jest iloczynem skalarnym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)

\(\displaystyle{ f= 3x_{1}y_1 - x_{2}y_2}\)

Z tego co wyczytałem na forum, to muszę znaleźć macierz tego funkcjonału i sprawdzić czy jest dodatnio określona i ponadto funkcjonał ten musi być symetryczny. W tym przypadku sprawdzenie symetrii jest trywialne. Nie wiem jak mam sobie stworzyć macierz tego funkcjonału.

Z góry dzięki za pomoc : )

[miodzio1988]

bez macierzy też to możesz zrobić, wystarczy definicja iloczynu skalarnego

[leszczu450]

miodzio1988, czyli co dokładnie mam zrobić?

Wikipedia mówi, że z definicji iloczyn skalarny wynik takiej operacji:

\(\displaystyle{ a=(a_1 , \ldots , a_n) \\ b=(b_1, \ldots , b_n) \\ a \cdot b= a_1 b_1 + \ldots a_n b_n}\)

[miodzio1988]

Definicja ogólna iloczynu skalarnego jest Ci potrzebna

[leszczu450]

miodzio1988, czy chodzi o to:
Jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych to funkcję \(\displaystyle{ f : V \times V \rightarrow \mathbb{R}}\) nazywamy iloczynme skalarnym jeśli:

1. \(\displaystyle{ \left< x,y \right> = \left< y,x \right>}\)
2. \(\displaystyle{ \left< \alpha x,y \right> = \alpha \left< x,y \right>}\)
3. \(\displaystyle{ \left< x+y,z \right>=\left< x,z \right>+\left< y,z \right>}\)
4. \(\displaystyle{ \left< x,x \right> = 0 \Leftrightarrow x=0}\)

[miodzio1988]

tak o to chodzi

[leszczu450]

miodzio1988, z tego co sprawdzam to zachodzi 1, 2 i 3 warunek. 4 warunek sie wysypuje. Dobrze mówię?

[miodzio1988]

Na 4 rzeczywiście się wysypuje i tyle wystarczy

[leszczu450]

Dziękuję z pomoc!