Czy są podprzestrzeniami liniowymi?

[wizard8912]

Witam.
Mam takie zadanie, proszę żeby ktoś sprawdził moje odpowiedzi i powiedział czy dobrze to zrobiłem:

Które z wymienionych zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni kartezjańskiej \(\displaystyle{ R^{n}}\)?

\(\displaystyle{ a) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | x_{1} = x_{n}}}\)

\(\displaystyle{ b) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | x_{1} = x_{n}+1}}\)

\(\displaystyle{ c) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | \sum_{i=1}^{n} x_{i}=0}}\)

\(\displaystyle{ d) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | \sum_{i=1}^{n} x_{i}=1}}\)

\(\displaystyle{ e) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | x_{2} ^{2} =0}}\)

\(\displaystyle{ f) W = {( x_{1} , .... , x_{n} ) \in R^{n} | x_{1} ^{2}+x_{2}^{2} =0}}\)


Moje odpowiedzi:

a) jest,
b) nie jest,
c) jest,
d) nie jest,
e) jest,
f) nie jest.

[smigol]

Poza f) jest ok.

[wizard8912]

To mam kolejne zadanie i ta sama prośba - proszę o poprawienie ewentualnych błędów:

Czy są przestrzeniami liniowymi następujące zbiory?

a) Zbiór wszystkich macierzy diagonalnych stopnia n

b) Zbiór wszystkich macierzy diagonalnych stopnia nie większego niż n

\(\displaystyle{ c) W = \left\{\left[\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}\right] | a, b, c \in R\right\}}\)

\(\displaystyle{ d) W = \left\{\left[\begin{array}{ccc}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{array}\right] | a, b, c \in R\right\}}\)

\(\displaystyle{ e) W = \left\{\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{array}\right] | a, b, ..., k \in R, c + e + g = 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ f) W = \left\{\left[\begin{array}{ccc}0&a&b\\a&0&c\\b&c&0\end{array}\right] | a, b, c \in R\right\}}\)

g) Zbiór wszystkich symetrycznych macierzy kwadratowych stopnia n


Moje odpowiedzi:

a) jest,
b) nie jest,
c) nie jest,
d) jest,
e) jest,
f) jest,
g) jest-- 22 maja 2013, o 16:53 --Czy jest ktoś w stanie napisać czy odpowiedzi są poprawne? Bardzo proszę o pomoc.