Symetria względem prostej

[janusz19]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:R^{3} \rightarrow R^{3}}\) jest symetrią względem prostej:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y = 0 \\ y+z = 0 \end{cases}}\)
Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazach standardowych.
Jak to zrobić ?

[smigol]

Znajdujesz parametryzację tej prostej, widzisz jaki jest jej wektor kierunkowy \(\displaystyle{ v}\), bierzesz dowolny punkt przestrzeni \(\displaystyle{ \textbf{a}=(x,y,z)}\), znajdujesz wektor \(\displaystyle{ u}\) o początku w tym punkcie i końcu znajdującym się na prostej prostopadły do wektora kierunkowego prostej (\(\displaystyle{ u \cdot v =0}\)). W ten sposób znajdujesz punkt \(\displaystyle{ \textbf{b}}\) będący punktem przecięcia zadanej prostej i prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ \textbf{a}}\) do niej prostopadłej. Znajdujesz wektor \(\displaystyle{ \textbf{b}-\textbf{a}}\) - wektor kierunkowy prostej, na której znajduje się szukany punkt, niech ma on (ten punkt) współrzędne \(\displaystyle{ (p,q,r)}\), wtedy oczywiście \(\displaystyle{ (p,q,r)=(x,y,z)+2\left( \textbf{b}-\textbf{a} \right)}\).

[janusz19]

Prosta jest w postaci krawędziowej, czyli opisana przez dwie płaszczyzny.
Z równania pierwszej płaszczyzny biorę punkt należący do obu tych płaszczyzn, czyli punkt należący również do prostej. \(\displaystyle{ P\left( 0,0,0\right)}\)
oraz wektor do niej równoległy do prostej który wychodzi \(\displaystyle{ \vec{v} \left( 1,1,1)\right}\)
czyli równanie w postaci parametrycznej będzie wyglądało w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}}\)
Wektor kierunkowy: \(\displaystyle{ \vec{v} \left( 1,1,1)\right}\)

\(\displaystyle{ a(x-x_{0} )+b(y-y_{0} )+c(z-z_{0} )=x+y+z-x_{0}-y_{0}-z_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ t+t+t-x_{0}-y_{0}-z_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ 3t=x_{0}+y_{0}+z_{0}}\)

\(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}\cdot\left( x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)}\)

Dla \(\displaystyle{ \left[ 1,0,0\right]}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1+x'}{2},\frac{y'}{2},\frac{z'}{2}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left(x',y',z'\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}\)
Analogicznie dla reszty i macierz przekształcenia wychodzi:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{bmatrix}}\)

Czy tak może być ?

[smigol]

Do momentu gdy piszesz

Dla [1,0,0]

to rozumiem co robisz. Później już nie do końca - wytłumacz się ze swoich oznaczeń, bo szczerze mówiąc, to nie chce mi się ich domyślać.

Z tej części, którą zrozumiałem: postać kierunkowa, a co za tym idzie wektor kierunkowy prostej jest źle wyznaczony. Później, jak rozumiem, wyznaczyłeś \(\displaystyle{ t}\), dla którego wiadomo jaki wektor jest prostopadły do zadanej prostej i bardzo dobrze. Wyznaczyłeś go też dobrze (modulo pomyłka przy wyznaczaniu wektora kierunkowego prostej).

[janusz19]

W tym fragmencie biorę po kolei współrzędne przekształconych wektorów bazowych – tu [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] i zapisuje w kolejnych kolumnach macierzy przekształcenia. Napisałem tylko dla [1,0,0] jako przykład.

A co do parametryzacji to robiłem tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = 0 \\ y+z = 0 \end{cases}}\)
Biorę x = 0 i wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}}\)
Więc mam punkt P spełniający oba równania.
\(\displaystyle{ P\left( 0,0,0\right)}\)
Mnożę wektorowo wektory z płaszczyzn czyli :
\(\displaystyle{ \vec{u} = \left( 1,1,0\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = \left( 0,1,1\right)}\)
Co daje mi macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1&1&0\\0&1&1 \end{bmatrix} = \left( \begin{vmatrix} 1&0\\1&1\end{vmatrix} , \begin{vmatrix} 1&0\\0&1\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1&1\\0&1\end{vmatrix}\right)}\)
więc wychodzi że wektor równoległy do prostej to
\(\displaystyle{ \vec{v_{k}}=\left( 1,1,1\right)}\)
Chyba że zła metodologia

[smigol]

Po co utrudniać sobie życie z iloczynem wektorowym to ja nie wiem, w każdym razie zjadłeś minusa we wzorze na iloczyn wektorowy.

[janusz19]

Faktycznie, czyli wektor \(\displaystyle{ \vec{v_{k}} = \left( 1,-1,1\right)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ t = \frac{1}{3}\left( x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)}\)
A teraz wykorzystam inny sposób odrazu na policzenie całej macierzy przekształcenia.
punkt \(\displaystyle{ X = \left( x_{0},y_{0},z_{0}\right)}\)
punkt symetryczny \(\displaystyle{ X' = \left( x'_{0},y'_{0},z'_{0}\right)}\)
\(\displaystyle{ X' = \left( x_{0}+t,y_{0}-t,z_{0}+t\right)}\)
A więc skoro mam t to wstawiam.
\(\displaystyle{ X' = \left( x_{0}+\frac{1}{3}x_{0}-\frac{1}{3}y_{0}+\frac{1}{3}z_{0}, y_{0}-\frac{1}{3}x_{0}+\frac{1}{3}y_{0}-\frac{1}{3}z_{0},z_{0}+\frac{1}{3}x_{0}-\frac{1}{3}y_{0}+\frac{1}{3}z_{0}\right)}\)

\(\displaystyle{ X' = \left(\frac{4}{3}x_{0}-\frac{1}{3}y_{0}+\frac{1}{3}z_{0},-\frac{1}{3}x_{0}+\frac{4}{3}y_{0}-\frac{1}{3}z_{0},\frac{1}{3}x_{0}-\frac{1}{3}y_{0}+\frac{4}{3}z_{0}\right)}\)

Więc macierz przekształcenia to: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}\frac{4}{3} & -\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\end{bmatrix}}\)

Teraz dobrze ?

[smigol]

Dlaczego \(\displaystyle{ X' = \left( x_{0}+t,y_{0}-t,z_{0}+t\right)}\) ?

[janusz19]

Ponieważ \(\displaystyle{ X' = X + t\cdot \vec{v_{k}}}\)
\(\displaystyle{ X' = \left(x_{0},y_{0},z_{0} \right) + \left( t,-t,t\right)}\)
\(\displaystyle{ X' = \left(x_{0}+t,y_{0}-t,z_{0}+t \right)}\)

Czy źle myślę?

[smigol]

W ten sposób przesuniesz punkt \(\displaystyle{ X}\) na prostą z zadania.

[janusz19]

\(\displaystyle{ v}\), bierzesz dowolny punkt przestrzeni \(\displaystyle{ \textbf{a}=(x,y,z)}\), znajdujesz wektor \(\displaystyle{ u}\) o początku w tym punkcie i końcu znajdującym się na prostej prostopadły do wektora kierunkowego prostej (\(\displaystyle{ u \cdot v =0}\)). [/latex].

No własnie tego nie mogę ogarnąć, bo w przypadku symetrii względem płaszczyzny wektor normalny już jest prostopadły (robiłem metodą jak dla płaszczyzny) a w tym przypadku mam dopiero znaleźć ten wektor który będzie prostopadły. I w tym tkwi cały problem bo później to już tak samo. Wiem że to stosunkowo proste ale nie wiem jakoś nie mogę tego zrobić.

[smigol]

Przecież tę część już zrobiłeś. Zostało do zrobienia to samo co dla symetrii względem płaszczyzny.

[janusz19]

Czyli złe jest t, powinno być 2/3 na to wychodzi. Bo powinienem był wstawić punkt S który jest wspólny dla obu prostych
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}(X+X')}\)
Czy tak ?

[smigol]

Przepraszam, ja już się pogubiłem co policzyłeś, a czego nie policzyłeś. Jak chcesz to zbierz w jednym punkcie, po kolei to co zrobiłeś i wtedy będziemy dalej myśleć.

[janusz19]

Równanie w postaci parametrycznej będzie wyglądało w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = t \end{cases}}\)
Wektor kierunkowy: \(\displaystyle{ \vec{v} \left( 1,-1,1)\right}\)

Punkt wspólny \(\displaystyle{ S}\) należy zarówno do płaszczyzny jak i do prostej i jest to punkt ich przecięcia.
Opisany jest wzorem: \(\displaystyle{ S = \frac{X+X'}{2}}\)
\(\displaystyle{ S = \begin{cases} x+\frac{1}{2}t \\ y-\frac{1}{2}t \\ z+\frac{1}{2}t\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a(x-x_{0} )+b(y-y_{0} )+c(z-z_{0}) = 0}\)
\(\displaystyle{ x-x_{0}-y+y_{0}+z-z_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}t-x_{0}+\frac{1}{2}t+y_{0}+\frac{1}{2}t-z_{0}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}t=x_{0}-y_{0}+z_{0}}\)

\(\displaystyle{ t=\frac{2}{3}(x_{0}-y_{0}+z_{0})}\)

Punkt \(\displaystyle{ X'}\) należy do płaszczyzny więc
\(\displaystyle{ X' = \begin{cases} x+t \\ y-t \\ z+t \end{cases}}\)

Analogicznie dla reszty i macierz przekształcenia wychodzi:
\(\displaystyle{ A_{L} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}}\)