Wektory i wartości własne przekształcenia liniowego

[janusz19]

Zadanie:
Znaleźć wektory i wartości własne przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ L: M _{2x2} \rightarrow M_{2x2}}\) określonego wzorem

\(\displaystyle{ L(X) = \frac{1}{2} \cdot \left( X+X^{T} \right)}\)

\(\displaystyle{ L \left( \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0\end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} \Leftrightarrow \left[ 1,0,0,0\right]}\)

\(\displaystyle{ L \left( \begin{bmatrix} 0&1 \\ 0&0\end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix}0& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&0\end{bmatrix} \Leftrightarrow \left[ 0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right]}\)

\(\displaystyle{ L \left( \begin{bmatrix} 0&0 \\ 1&0\end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix}0& \frac{1}{2} \\\frac{1}{2}&0\end{bmatrix} \Leftrightarrow \left[ 0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right]}\)

\(\displaystyle{ L \left( \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&1\end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix} \Leftrightarrow \left[ 0,0,0,1\right]}\)

\(\displaystyle{ A_{L} = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\)

det\(\displaystyle{ \left( A_{L} - \lambda \cdot I\right) = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1- \lambda&0&0&0\\ 0&\frac{1}{2}- \lambda&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}- \lambda&0\\0&0&0&1- \lambda\end{vmatrix} = \left(1- \lambda \right) \cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{2}- \lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}- \lambda & 0 \\ 0&0&1 \end{vmatrix} = 1- \lambda \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{2}- \lambda& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}- \lambda \end{vmatrix} = \left(1-\lambda \right) \cdot \left( \frac{1}{2} - \lambda\right)^{2} - \frac{1}{4} = \lambda \cdot \left( 1 - \lambda\right) \cdot \left(\lambda-1 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda = 0}\)

\(\displaystyle{ \vec{u}_{\lambda_{1}} = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 0 \\ b = -c \\ d = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \vec{u}_{\lambda_{1}} = \begin{bmatrix} 0 & t \\ -t&0\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \lambda = 1}\)

\(\displaystyle{ \vec{u}_{\lambda_{2}} = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&0&0\\ 0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \in R \\ d\in R \\ b = c \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \vec{u}_{\lambda_{2}} = \begin{bmatrix} x&t \\ t&y\end{bmatrix}}\)

Czy dobrze zrobiłem to zadanie ?

[loncik]

Przeanalizowałem całe rozwiązanie i to zadanie jest wykonane poprawnie

(Jak już masz wyniki tych macierzy możesz zaznaczyć, że ta pierwsza jest antysymetryczna a druga symetryczna)