Algorytm Grama-Schmidta

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
janusz19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 25 kwie 2013, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Algorytm Grama-Schmidta

Post autor: janusz19 »

Zadanie:
Zastosować algorytm Grama-Schmidta do zortogonalizowania wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{u _{1} } = \left(1,2,2,-1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{u _{2} } = \left(1,1,-5,3 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{u _{3} } = \left(3,2,8,-7 \right)}\)
z przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ E^{4}}\)

Obliczenia:
\(\displaystyle{ \vec{v} _{1} = \vec{u}_{1} = \left(1,2,2,-1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} _{2} = \vec{u} _{2} - \frac{ \left\langle \vec{v}_{1},\vec{u}_{2}\right\rangle }{\left\langle \vec{v}_{1},\vec{v}_{1}\right\rangle } \cdot \vec{v}_{1} = \left( 1,1,-5,3\right) + \left( 1,2,2,-1\right) = \left(2,3,-3,2 \right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} _{3} = \vec{u} _{3} - \frac{ \left\langle \vec{v}_{1},\vec{u}_{3}\right\rangle }{\left\langle \vec{v}_{1},\vec{v}_{1}\right\rangle } \cdot \vec{v}_{1} - \frac{ \left\langle \vec{v}_{2},\vec{u}_{3}\right\rangle }{\left\langle \vec{v}_{2},\vec{v}_{2}\right\rangle } \cdot \vec{v}_{2}=
\left( 3,2,8,-7\right) -3\cdot \left( 1,2,2,-1\right)+\left( 2,3,-3,2\right)=\left(2,-1,-1,2 \right)}\)


Czy to zadanie jest poprawnie rozwiązane ?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Algorytm Grama-Schmidta

Post autor: miki999 »

Sprawdź czy wektory są ortogonalne. Jedyny błąd, który można tu popełnić to chyba rachunkowy.
janusz19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 25 kwie 2013, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Algorytm Grama-Schmidta

Post autor: janusz19 »

Sprawdzenie czy są ortogonalne:

\(\displaystyle{ \left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot -3+(-1) \cdot 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_{2},v_{3}\right\rangle = 2 \cdot 2 + 3 \cdot -1 + (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 8}\)
Czyli trzeci wektor jest źle obliczony.
I chyba wiem gdzie:
\(\displaystyle{ \left( 3,2,8,-7\right) -3\cdot \left( 1,2,2,-1\right)+\left( 2,3,-3,2\right)=\left(2,-1,-1,2 \right)}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ \left( 3,2,8,-7\right) -3\cdot \left( 1,2,2,-1\right)+\left( 2,3,-3,2\right)=\left(2,-1,-1,-2 \right)}\)

\(\displaystyle{ \left\langle v_{2},v_{3}\right\rangle = 2 \cdot 2 + 3 \cdot -1 + (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) = 0}\)
ODPOWIEDZ