Definicja jądra

[nnnmmm]

Czy pomożecie mi zrozumieć definicję jądra?

\(\displaystyle{ \ker L = \left\{ \vec{u} \in U: L( \vec{u})= \vec{0} \right\}}\)

Jądrem odwzorowania liniowego nazywamy ogół takich wektorów z
przestrzeni \(\displaystyle{ L}\), których wartość jest wektorem zerowym przestrzeni \(\displaystyle{ U}\)

[smigol]

Czego konkretnie nie rozumiesz?

[nnnmmm]

Pojęcia nie mam o co w tym chodzi...
Może jakiś przykład?


A może: w \(\displaystyle{ U}\) są jakieś wektory, a jądro to te wektory dla których ta druga funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\)

coś takiego?

To jakby była funkcja \(\displaystyle{ f(x)=y}\)i szukamy takich \(\displaystyle{ f(y)=0}\) coś takiego???

[smigol]

\(\displaystyle{ L}\) jest przekształceniem liniowym. (W pierwszym poście jest błąd)
Jeśli mamy przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L: U \to W}\), gdzie \(\displaystyle{ U,W}\) są przestrzeniami liniowymi, to jądrem przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) (ozn. \(\displaystyle{ \ker L}\) ) nazywamy zbiór wektorów, które przy tym przekształceniu przechodzą na wektor zerowy przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).
Czyli \(\displaystyle{ \ker L = \{ u \in U : L(u) = 0\}}\).

Przykład/zadanie: Weźmy sobie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ L(x,y,z) = (5x-10y+3z,x+y-2z)}\). Udowodnij, że jest to przekształcenie liniowe i znajdź jego jądro.

[nnnmmm]

Ja edytowałam:

A może: w \(\displaystyle{ U}\) są jakieś wektory, a jądro to te wektory dla których ta druga funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\)

coś takiego?

To jakby była funkcja \(\displaystyle{ f(x)=y}\)i szukamy takich \(\displaystyle{ f(y)=0}\) coś takiego???

Dobrze myślę???

[smigol]

A może: w \(\displaystyle{ U}\) są jakieś wektory

Jak to w przestrzeni liniowej, są w niej wektory...

, a jądro to te wektory dla których ta druga funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\)

Jaka druga funkcja?

To jakby była funkcja \(\displaystyle{ f(x)=y}\) i szukamy takich \(\displaystyle{ f(y)=0}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=y}\) jest stała, w każdym punkcie jej wartość wynosi \(\displaystyle{ y}\)...

Dobrze myślę???

Nie. Odnoszę wrażenie, że nawet nie czytasz tego co ja piszę...

[nnnmmm]

1)
\(\displaystyle{ 5x-10y+3=0 \wedge x+y-2z=0}\) szukamy takich \(\displaystyle{ L(x,y,z)=(0,0)}\)

\(\displaystyle{ Ker L}\) to będzie rozwiązanie tego równania, a będzie ich nieskończenie wiele, bo jest nieparzysta ilość niewiadomych.

2)Podsumowująć \(\displaystyle{ Ker L}\) to takie wektory, które pozwalają nam uzyskać wektor \(\displaystyle{ (0,0)}\) drugiej funkcji, Tak

[smigol]

1) Rozumiem, że miało być +\(\displaystyle{ 3z}\) zamiast \(\displaystyle{ +3}\). Nie szukamy, żadnych \(\displaystyle{ L(x,y,z)}\), tylko szukamy trójki uporządkowanej \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) takiej, że \(\displaystyle{ L(x,y,z)=(0,0)}\). \(\displaystyle{ \ker L}\) to będzie rozwiązanie układu równań i rzeczywiście będzie on miał nieskończenie wiele rozwiązań, ale nie z powodu wymienionego przez Ciebie.

2) Czym jest, do stu diabłów, ta druga funkcja?!

[nnnmmm]

2) Znaczy druga przestrzeń \(\displaystyle{ W}\), teraz jest dobrze???

[smigol]

Czyli powinnaś napisać:

Podsumowując, \(\displaystyle{ \ker L}\) to takie wektory, które pozwalają nam uzyskać po przekształceniu wektor \(\displaystyle{ (0,0)}\), który jest wektorem zerowym przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).