Wektory dołączone i postać Jordana - ciężki przypadek

[kkkasienka]

Kochani, może Wy pomożecie! Mam znaleźć wektory własne i wektory dołączone, a także postać Jordana dla macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&-2\\0&1&1&-1\\0&0&-1&4\\0&0&-1&3\end{array}\right]}\)
Wielomian charakterystyczny wyszedł \(\displaystyle{ \((1-\lambda)^4}\) więc jest jedna wartość własna równa 1, o krotności algebraicznej 4.
Dla niej wychodzi, że ma dwa wektory własne: \(\displaystyle{ v_{1} =(1, 0, 0, 0)}\) i \(\displaystyle{ v_{2} =(0, 1 ,0 ,0)}\).
Znam kilka sposobów na szukanie wektorów dołączonych, liczby klatek danych stopni, ale tutaj wychodzą mi same sprzeczności... Ktoś chętny podjąć wyzwanie?

[omicron]

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}1&0&2&-2 \\ 0&1&1&-1 \\ 0&0&-1&4 \\ 0&0&-1&3 \\ \end{bmatrix}}\)

Wektory własne tej macierzy są postaci:

\(\displaystyle{ v^{(1)} = \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}}\)

Wektory główne:

\(\displaystyle{ v^{(2)} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 2\beta \\ \beta \\ \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ v^{(3)} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \beta \\ \beta \\ \end{bmatrix}}\)

Dodatkowo dostajemy warunek przy ich wyznaczaniu:

\(\displaystyle{ \alpha = 2\beta}\)

Macierz podobieństwa:

\(\displaystyle{ P = \begin{bmatrix}0&2&0&0 \\ 1&1&0&0 \\ 0&0&2&1 \\ 0&0&1&1 \\ \end{bmatrix}}\)

Postać Jordana macierzy \(\displaystyle{ A}\):

\(\displaystyle{ J = P^{-1}AP = \begin{bmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}}\)

Być może do wyznaczania wektorów głównych wyższych rzędów wziąłeś konkretne wartości własne zamiast ogólnych - wtedy istotnie dostajesz sprzeczność.

[kkkasienka]

Faktycznie, wzięłam konkretne a nie ogólne wektory własne...
Ok, rozumiem zatem skąd wektory główne:
\(\displaystyle{ v_{3}= \begin{bmatrix} 0\\0\\2\\1\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{4}=\begin{bmatrix} 0\\0\\1\\1\end{bmatrix}}\)

Wiem też, że skoro wyszedł mi wektor własny postaci:
\(\displaystyle{ v= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\0\\0\end{bmatrix}}\)
to generuje on przestrzeń dwuwymiarową, ale skoro przy liczeniu wektorów głównych wyszedł nam warunek \(\displaystyle{ \alpha = 2 \beta}\), to muszę go uwzględnić przy wektorze własnym, tak?
Chodzi o to, że nie bardzo rozumiem, skąd wzięły się w macierzy postaci Jordana wektory:
\(\displaystyle{ v_{1}= \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{2}=\begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\) ???

[omicron]

No, to są wektory własne.

[kkkasienka]

Ok, dziękuję za pomoc