\(\displaystyle{ f(x)=X^{T}AX}\), gdzie \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}4 &0& 2 \\ 0& 1& 0 \\ 2& 0& 2 \end{bmatrix}}\) jest macierzą w bazie standardowej. Niech \(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 0&1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}}\) będzie macierza przejścia z bazy standardowej do B. Znaleźc \(\displaystyle{ f(X')}\), gdzie \(\displaystyle{ X'= \begin{bmatrix} x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\\\end{bmatrix}}\) sa współrzędnymi wektora \(\displaystyle{ u=(x_{1},x_{2},x_{3})}\) w bazie B.
Prosze o pomoc!
formy kwadratowe
-
sstanko
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 10 lis 2012, o 12:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
formy kwadratowe
\(\displaystyle{ X=P \cdot X'}\)
\(\displaystyle{ X ^{T} = (P \cdot X')^T = X' ^{T} \cdot P ^T}\)
\(\displaystyle{ f(X') = X^T \cdot A \cdot X = (X'^T \cdot P^T) \cdot A \cdot (P \cdot X') = X'^T \cdot (P^T \cdot A \cdot P) \cdot X' = X'^T \cdot I_{3} \cdot X' = (x'_1)^2 +(x'_2)^2 + (x'_3)^2}\)
\(\displaystyle{ X ^{T} = (P \cdot X')^T = X' ^{T} \cdot P ^T}\)
\(\displaystyle{ f(X') = X^T \cdot A \cdot X = (X'^T \cdot P^T) \cdot A \cdot (P \cdot X') = X'^T \cdot (P^T \cdot A \cdot P) \cdot X' = X'^T \cdot I_{3} \cdot X' = (x'_1)^2 +(x'_2)^2 + (x'_3)^2}\)