Czy istnieje twierdzenie o uzupełnieniu wektorów do bazy, w przypadku gdy przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa??
Jeżeli tak to gdzie to można znaleźć? I czy jest do tego dowód?
PS. Dla przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej mam.
Twierdzenie o uzupełnieniu wektorów do bazy
-
mateus_cncc
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 54 razy
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Twierdzenie o uzupełnieniu wektorów do bazy
Tak. To proste zastosowanie lematu Kuratowskiego-Zorna.
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\). Rozważ rodzinę wszystkich zbiorów liniowo niezależnych, które zawierają \(\displaystyle{ M}\). Rodzina ta jest niepusta bo sam zbiór \(\displaystyle{ M}\) do niej należy. Element maksymalny tej rodziny jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie zbiorem liniowo niezależnym w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\). Rozważ rodzinę wszystkich zbiorów liniowo niezależnych, które zawierają \(\displaystyle{ M}\). Rodzina ta jest niepusta bo sam zbiór \(\displaystyle{ M}\) do niej należy. Element maksymalny tej rodziny jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).