przekształcenie liniowe-pytanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: Majka99 »

Mam za zadanie sprawdzić czy odwzorowanie jest przekształceniem liniowym.
\(\displaystyle{ f(X)=f(2X)}\)

I teraz sprawdzam sobie pierwszy warunek:
\(\displaystyle{ f(X+Y)=f(2(X+Y))=f(2X+2Y)=f(2X)+f(2Y)=f(X)+f(Y)}\)
I moje pytanie :Czy mogę w miejscu \(\displaystyle{ f(2X+2Y)=f(2X)+f(2Y)}\) stosować to mimo tego,że jeszcze nie wiem czy moje odwzorowanie spełnia warunek addytywności ?
MlodyPieknyBogaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 3 sty 2013, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 8 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: MlodyPieknyBogaty »

Zauważ, że przekształcenie liniowe zachowuje mnożenie przez skalar, czyli dla każdego przekształcenia liniowego masz: \(\displaystyle{ f\left( cx\right)=c \cdot f\left( x\right)}\) czyli z góry widać, że Twoje przekształcenie nie jest liniowe
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: Majka99 »

Tak,tak,wiem,tyllko chciałam wiedzieć czy tak jak sobie to rozpisałam może być,czy mogę tak postępować w innych przykładach.
MlodyPieknyBogaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 3 sty 2013, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 8 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: MlodyPieknyBogaty »

Nie do końca rozumiem o jakie przypadki chodzi, ale krótko mówiąc: Jeśli sprawdzasz warunek addytywności to nie możesz w żadnym miejscu przy jego sprawdzaniu założyć, że on zachodzi. Możesz wykorzystywać wiedzę, którą masz daną w zadaniu albo udowodniłaś wcześniej.
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: Majka99 »

ok.A czy mogę prosić o udzielnie odp czy dobrze mysle w innym przykladzie ?

\(\displaystyle{ f(x)=\left[\begin{array}{c}5x&y\\\end{array}\right]}\).I tutaj jak spr addytywność to

\(\displaystyle{ f(x+y)=\left[\begin{array}{c}5x+5y&z\\\end{array}\right]}\).Druga wspolrzedna nie ma wogole zwiazku z pierwsza,wiec w zaden sposob nie moge stwierdzic ze jest to rowne \(\displaystyle{ f(x)+f(y)}\).Moge tez podac przyklad na to ze tak nie jest :

\(\displaystyle{ f(1+0)=\left[\begin{array}{c}5&z\\\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f(1)=\left[\begin{array}{c}5&z\\\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ f(0)=\left[\begin{array}{c}0&z\\\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ f(0)+f(1)=\left[\begin{array}{c}5&2z\\\end{array}\right] \neq \left[\begin{array}{c}5&z\\\end{array}\right]}\)

Reasumując moje odwzorowanie nie jest liniowe.Czy moja odp jest poprawna ?Jezeli tak,to czy jest to jakas zasada,ze jezeli pojawia sie nam jakas wspolrzedna,niemajaca zwiazku z druga,to nie moze to byc nigdy przeksztalcenie liniowe ?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2013, o 13:06 przez Majka99, łącznie zmieniany 1 raz.
MlodyPieknyBogaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 3 sty 2013, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 8 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: MlodyPieknyBogaty »

\(\displaystyle{ f\left( x\right) +f\left( y\right)=\left[\begin{array}{c}5x&z\\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5y&z\\\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}5x+5y&2z\\\end{array}\right]}\) Ta równość będzie zachodzić tylko dla \(\displaystyle{ z=0}\)
Co do pytania o \(\displaystyle{ z}\): Owszem, jeśli we wzorze na przekształcenie występuje np jakaś stała typu liczba różna od zera, albo tak jak u Ciebie jakaś zmienna, która nie ma związku z tymi przekształcanymi to takie przekształcenie nie będzie liniowe, ale to jest machanie rękami. Zawsze powinno się pokazywać który z warunków nie jest spełniony. Na ogół nie jest to trudne i ogranicza się do rozpisania obu stron równości na addytywność tak jak to zrobiliśmy.
Swoją drogą w ogóle nie rozumiem skąd się biorą wyniki w Twoim przykładzie.
Majka99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 paź 2012, o 12:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: zgierz
Podziękował: 15 razy

przekształcenie liniowe-pytanie

Post autor: Majka99 »

Poprawione,przepraszam,chciałam od razu podstawiać za \(\displaystyle{ z}\) konkretne wartości.
Dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ