Po kolei, dostałem zadanie od mojego wykładowcy z algebry z macierzy Jordana. Wpierw czytam teorie, którą raz lepiej rozumiem, raz gorzej. Najchętniej podałbym po prostu źródło do teorii ale wgryzłem się w forum i nie mogę, trudno. Próbuje przeanalizować inne zadanie (łatwiejsze) które jest w tej teorii. Oczywiście znaleźć macierz Jordana. Macierz jest następująca:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)
Wyznaczyć wartości własne prosto \(\displaystyle{ \lambda_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{2}=2}\). Tu zaczynają się problemy. W przykładzie pada taki wzór:
\(\displaystyle{ dimV_{\lambda_{1}}=dim\{ker(A-I)\}=3-dim\{Im(A-I)\}=3-rank\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\1&1&0\end{array}\right]=1}\)
Teraz tak, pierwsza sprawa to policzyć kernel'a tak więc poszperałem i zgodnie z tym co znalazłem powinno to wyglądać tak. Po odjęciu jednostkowej od A dostaje macierz w której 1 wiersz jest taki sam jak trzeci czyli ostatecznie mogę napisać taki układ równań.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\1&1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Z tego wynika że mogę zapisać kernel jako \(\displaystyle{ ker(\varphi)=lin(0,0,1)}\)
Teraz seria pytań...
1)Czy ogólną metodą wyznaczenia jądra jest rozwiązanie układu równań gdzie pewne dane przyrównujemy do zera.
2)W jaki sposób wyznaczać \(\displaystyle{ dim}\) jeżeli rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ lin}\). Wyznaczałem wymiar gdy miałem przykładowo zwykłą macierz, niestety nie rozumiem jeszcze tak do końca jak działa to \(\displaystyle{ lin}\).
3) Mam dużo zaległości więc powoli nadrabiam, nie zdążyłem jeszcze przerobić Im, oraz jego liczenia, jeśli jednak ktoś był na tyle uprzejmy aby w kilku słowach wyjaśnić o co biega. [Trzecie pytania zadaje z racji braku proporcji między czasem którym dysponuje a ilością zagadnień które muszę opracować. Jeżeli ktoś ma poczucie że bez wkładu proszę o coś, proszę o zwyczajne pominięcie pytania.]
Dalej...
Własność której treść pozwolę sobie skopiować:
Dalej fragment rozwiązania tego przykładowego zadania:Liczba klatek Jordana odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) jest równa
wymiarowi przestrzeni własnej macierzy A odpowiadającej tej wartości własnej (czyli
liczbie liniowo niezależnych wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\)). Suma stopni wszystkich tych klatek równa jest krotności wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego macierzy A.
Pierwszą własność rozumiem, drugą nie czuje, język wydaje mi się zbyt zawiły, może dochodzi brak wiedzy że pewne rzeczy nazywają się tak a nie inaczej. Czy ktoś byłby w stanie mi to przełożyć na bardziej ludzki język, czy też może, że tak powiem, rozłożyć to zdanie i powiedzieć mi co do czego się odnosi.Na podstawie Własności 2, wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\) = 1 odpowiada jedna klatka Jordana stopnia 1, wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) = 2 musi więc odpowiadać jedna klatka Jordana stopnia 2.
