znaleźć podprzestrzeń

[kuba_]

Znaleźć podprzestrzeń \(\displaystyle{ Q}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) taką, aby \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3=P \oplus Q}\), gdzie \(\displaystyle{ P = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x-2y+z=0, x+y-3z=0\right\}}\).

Wiem, że na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3=P \oplus Q}\) muszą zajść warunki
\(\displaystyle{ 1. P \cap Q = \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ 2. P \cup Q = \mathbb{R}^3}\)
i jako, że \(\displaystyle{ dim P = 1}\) to wymiar szukanego Q musi być równy 2, ale nie mam pojęcia, w jaki sposób mogę wyznaczyć tę podprzestrzeń \(\displaystyle{ Q}\). Prosiłbym o w miarę dokładne rozpisanie, bo takich zadań nie robiłem na zajęciach.

[szw1710]

Jak widać, \(\displaystyle{ P}\) jest prostą. Znajdź więc płaszczyznę do niej prostopadłą przechodzącą przez \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). I to jest Twoje \(\displaystyle{ Q}\). Geometrycznie łatwiej myśleć. Nie tylko definicjami

Prostopadłość nie jest tu istotna. \(\displaystyle{ Q}\) może być jakąkolwiek płaszczyzną przechodzącą przez początek układu, która ma dokładnie jeden punkt wspólny (właśnie początek) z \(\displaystyle{ P}\).

[kuba_]

a mógłbym kogoś prosić o pomoc w wyznaczeniu tej płaszczyzny? bo szczerze mówiąc nie mam pojęcia, jak to zrobić. wiem, że płaszczyznę wyznaczają dwie proste, ale jak je wyznaczyć?

[omicron]

\(\displaystyle{ Ax+By+Cz=0}\)

To jest równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jako, że prawdopodobieństwo trafienia takich współczynników, że płaszczyzna pokryje się z prostą jest niewielkie (o ile nie zerowe), to myślę że śmiało możesz strzelić współczynniki a potem sprawdzić czy przypadkiem prosta z płaszczyzną się nie pokrywają podstawiając jakiś punkt należący do prostej, do równania płaszczyzny.