baza przestrzeni im f

[kuba_]

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \ni (x,y,z) \rightarrow (x-y+2z,2x-2z,x+y-4z) \in \mathbb{R}^3}\). Znaleźć dowolną bazę przestrzeni \(\displaystyle{ im f}\) i obliczyć rząd\(\displaystyle{ f}\).

rząd policzyłem tworząc macierz tego odwzorowania i wyszło mi, że \(\displaystyle{ rz f = rz A = 2}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\2&0&-2\\1&1&-4\end{array}\right]}\)

teraz pozostaje znaleźć bazę \(\displaystyle{ im f}\). wyznaczyłem \(\displaystyle{ im f = lin\left\{ (1,2,1), (-1,0,1), (2,-2,-4)\right\}}\) skoro\(\displaystyle{ rz f = 2}\) to \(\displaystyle{ dim im f = 2}\), a więc im f ma 2 wektory bazowe. Czy będą to po prostu te spośród wektorów\(\displaystyle{ (1,2,1), (-1,0,1), (2,-2,-4)}\), które są liniowo niezależne, czyli np. dwa pierwsze?

Proszę o ew. zweryfikowanie mojego rozumowania.

[MlodyPieknyBogaty]

Nie wiem skąd wzięła się Twoja macierz. Mógłbyś wytłumaczyć. Dowolną bazę możesz wyznaczyć bez macierzy. Mianowicie istnieje twierdzenie, które mówi, że wektory utworzone przez odwzorowanie wektorów bazowych rozpinają obraz. Czyli możesz to zrobić krótko: policzyć odwzorowanie od 3 wektorów: \(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right), \left( 0,1,0\right), \left( 0,0,1\right)}\). Otrzymasz wtedy dokładnie te wektory, które Ci wyszły i badasz ich niezależność liniową. Rząd to ilość liniowo niezależnych wektorów rozpinających obraz, a baze obrazu tworzą niezależne wektory, których jest tyle ile wynosi rząd. W Twoim przypadku rzeczywiście rząd to 2, czyli wybierasz dowolne 2 wektory spośrod bazowych, które nie są liniowe zależne. W tym przypadku akurat dowolne 2 z tych 3.

[kuba_]

rzeczywiście, przepisałem nie tę macierz co trzeba - już poprawiłem. ok, czyli wektory bazowe mam już wyznaczone. pozostaje pytanie, czy w powyższy sposób mogę policzyć rząd tego odwzorowania, a właściwie czy ta poprawiona przeze mnie macierz jest poprawna?

[MlodyPieknyBogaty]

Jak najbardziej. Rząd odwzorowania to wymiar obrazu, a jednocześnie, tak jak napisałeś, rząd macierzy odwzorowania, czyli tej, którą zapisałeś.