Udowodnić, że przestrzenie nie są izomorficzne.

[Mia_]

Witam,
proszę o jakiekolwiek wskazówki, które pomogą mi rozwiązać poniższe zadanie:

Niech V będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią liniową. Udowodnić, że przestzrenie V i V* nie są izomorficzne.

Z góry dziękuję.

[bartek118]

Z lematu Kuratowskiego-Zorna musisz wykazać, że \(\displaystyle{ \mbox{dim} V < \mbox{dim} V^{*}}\)

-- 30 kwi 2013, o 10:37 --

Albo prościej - wystarczy wskazać kontrprzykład:

Weźmy \(\displaystyle{ V = \mathbb{R}^{\infty}}\) - przestrzeń liniowa ciągów rzeczywistych od pewnego miejsca zerowych. Wtedy bazą jest \(\displaystyle{ (e_{i})_{i \in \mathbb{N}}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) ma same zera i jedynkę na \(\displaystyle{ i}\)-tym miejscu. Wtedy \(\displaystyle{ V^{*} = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}\), ale ta przestrzeń nie ma przeliczalnej bazy. W szczególności zatem \(\displaystyle{ \aleph_{0} = \mbox{dim} V < \mbox{dim} V^{*}}\), więc przestrzenie te nie mogą być izomorficzne.-- 30 kwi 2013, o 10:43 --A nie, sorry, przykład nie wystarczy.

To jeszcze jedna podpowiedź:
Możesz pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ F}\) jest nieskończenie wymiarowa oraz \(\displaystyle{ (v_{\alpha})_{\alpha \in A}}\), to przestrzeń dualna jest izomorficzna z \(\displaystyle{ F^A}\), można więc napisać, że \(\displaystyle{ V^{*} = F^A}\). Teraz wystarczy pokazać, że moc bazy \(\displaystyle{ F^A}\) jest większa od mocy \(\displaystyle{ A}\).

[Mia_]

Dziękuję. A mógłbyś mi jeszcze napisać, co rozumiesz przez oznaczenie \(\displaystyle{ F^{A}}\)?

[bartek118]

\(\displaystyle{ F^A}\) to zbiór wszystkich odwzorowań \(\displaystyle{ f : A \longrightarrow F}\).