Określić wymiar przestrzeni w zależności od parametru

[misia12345]

Określić wymiar w zależności od parametru \(\displaystyle{ p}\) przestrzeni liniowej

\(\displaystyle{ V={(2,p,p,3),(p,-1,p,1),(1,1,1,1)}}\)

Nie wiem jak się za to zabrać. Próbowałam doprowadzić do postaci schodkowej i coś kombinować ale bez rezultatu.

[fon_nojman]

Policz minory wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3.}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&p&p&3\\p&-1&p&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}\quad w_1-3w_3\\\\
\begin{bmatrix}-1&p-3&p-3&0\\p&-1&p&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}\quad w_2-w_3\\\\
\begin{bmatrix}-1&p-3&p-3&0\\p-1&-2&p-1&0\\1&1&1&1\end{bmatrix}}\)

Trzeci wektor jest niezależny od pozostałych. Pozostałe dwa mogą być zależne tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p-3=-1 \Rightarrow p=2}\) :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&-1&-1&0\\1&-2&1&0\end{bmatrix}}\)

ale jak widać nie są. Zatem wymiar wynosi \(\displaystyle{ 3}\) dla każdego \(\displaystyle{ p}\)