Sprowadzić macierz do postaci Jordana:
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\-10&4&1\\-1&1&-1\end{array}\right]}\)
Wyliczyłam wartości własne i weszły:
\(\displaystyle{ \alpha _{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{3}=1}\)
proszę o ponoc co zrobić z tym dalej...
Sprowadzić macierz do postaci Jordana
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Sprowadzić macierz do postaci Jordana
Wyjdą inne, policz jeszcze raz. Tak na marginesie, gdyby takie wyszły jak napisałaś, to już praktycznie byłby koniec.
-
ryzyk
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 2 lis 2012, o 16:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Podziękował: 4 razy
Sprowadzić macierz do postaci Jordana
czytałam cos o rzędach, ale nie wiem do końca jak to zastosowac.
Rząd macierzy \(\displaystyle{ A = 3}\)
Rząd macierz \(\displaystyle{ A- \alpha I = 2}\)
\(\displaystyle{ 3-2 = 1}\) Czyli ma byc 1 klatka, czy nie o to chodzi ?
Rząd macierzy \(\displaystyle{ A = 3}\)
Rząd macierz \(\displaystyle{ A- \alpha I = 2}\)
\(\displaystyle{ 3-2 = 1}\) Czyli ma byc 1 klatka, czy nie o to chodzi ?
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Sprowadzić macierz do postaci Jordana
Można np tak.
Jedynka jest podwójnym pierwiastkiem, więc na przekątnej wystąpi \(\displaystyle{ 2}\) razy. Dlatego możliwe postacie Jordana z dokładnością do kolejności klatek to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\) lub \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)
Łatwo sprawdzić jednak, że \(\displaystyle{ dimV_{(1)} = 1}\), więc tylko druga opcja jest możliwa. Pierwsza opcja byłaby, gdyby \(\displaystyle{ dimV_{(1)} = 2}\), bo wówczas \(\displaystyle{ dimV_{(1)} + dimV_{(-1)} = dimV}\) i macierz byłaby diagonalizowalna.
Jeżeli chcesz robić z rzędami (bo tamten sposób przy większych macierzach nie zadziała zawsze) to:
\(\displaystyle{ q_i = r(A - I\lambda)^{i-1} - r(A - I\lambda)^{i}}\) oznacza liczbę klatek wymiaru nie mniejszego niż \(\displaystyle{ i}\)
U Ciebie dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) masz:
\(\displaystyle{ q_1 = r(A - I)^{0} - r(A - I)^{1} = r(I) - r(A - I)^{1} = 3 - 2 = 1}\) - Czyli jest jedna klatka wymiaru większego/równego jeden. Niby już wystarczy, ale policzmy dalej, żeby było widać.
\(\displaystyle{ q_2 = r(A - I)^{1} - r(A - I)^{2} = 2 - 1 = 1}\) - zgodnie z oczekiwaniami.
(\(\displaystyle{ q_3 = 0}\), ale liczenie tego jest zupełnie niepotrzebne, bo dla drugiej wartości własnej musi coś zostać)
Stąd już widać że dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) jest jedna klatka wymiaru dwa i dla \(\displaystyle{ -1}\) zostaje jedna klatka wymiaru jeden (ale to też można policzyć, jeżeli chcesz).
Mam nadzieję, że w miarę jasno.
I rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) nie ma tutaj znaczenia.
Jedynka jest podwójnym pierwiastkiem, więc na przekątnej wystąpi \(\displaystyle{ 2}\) razy. Dlatego możliwe postacie Jordana z dokładnością do kolejności klatek to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\) lub \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)
Łatwo sprawdzić jednak, że \(\displaystyle{ dimV_{(1)} = 1}\), więc tylko druga opcja jest możliwa. Pierwsza opcja byłaby, gdyby \(\displaystyle{ dimV_{(1)} = 2}\), bo wówczas \(\displaystyle{ dimV_{(1)} + dimV_{(-1)} = dimV}\) i macierz byłaby diagonalizowalna.
Jeżeli chcesz robić z rzędami (bo tamten sposób przy większych macierzach nie zadziała zawsze) to:
\(\displaystyle{ q_i = r(A - I\lambda)^{i-1} - r(A - I\lambda)^{i}}\) oznacza liczbę klatek wymiaru nie mniejszego niż \(\displaystyle{ i}\)
U Ciebie dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) masz:
\(\displaystyle{ q_1 = r(A - I)^{0} - r(A - I)^{1} = r(I) - r(A - I)^{1} = 3 - 2 = 1}\) - Czyli jest jedna klatka wymiaru większego/równego jeden. Niby już wystarczy, ale policzmy dalej, żeby było widać.
\(\displaystyle{ q_2 = r(A - I)^{1} - r(A - I)^{2} = 2 - 1 = 1}\) - zgodnie z oczekiwaniami.
(\(\displaystyle{ q_3 = 0}\), ale liczenie tego jest zupełnie niepotrzebne, bo dla drugiej wartości własnej musi coś zostać)
Stąd już widać że dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) jest jedna klatka wymiaru dwa i dla \(\displaystyle{ -1}\) zostaje jedna klatka wymiaru jeden (ale to też można policzyć, jeżeli chcesz).
Mam nadzieję, że w miarę jasno.
I rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) nie ma tutaj znaczenia.