Czy 2 wektory wystarczą do utworzenia bazy R^3

[MonteChristo1307]

Sprawdzić z definicji, czy 2 wektory, powiedzmy \(\displaystyle{ v_{1}=(1,2,3) i v_{2}=(-1,0,1)}\) tworzą bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{3}}\)
Interesuje mnie szczególnie ten warunek na bazę z linA, bo liniową niezależność umiem sprawdzać.
\(\displaystyle{ (x,y,z)= \alpha (1,2,3)+ \beta (-1,0,1)}\)
mam układ równań:
\(\displaystyle{ x= \alpha - \beta}\)
\(\displaystyle{ y=2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=3 \alpha + \beta}\)
z którym dalej nie wiem co robić.

[matmatmm]

Układ dwóch wektorów nie tworzy bazy \(\displaystyle{ \RR^{3}}\).
Tym sposobem, to musisz stwierdzić, że ten układ równań ma więcej niż jedno rozwiązanie dla pewnego punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\).
Innym sposobem można stwierdzić, że dodając do tych dwóch wektorów pewien trzeci wektor, układ trzech wektorów będzie liniowo niezależny.

[yorgin]

\(\displaystyle{ x= \alpha - \beta}\)
\(\displaystyle{ y=2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ z=3 \alpha + \beta}\)
z którym dalej nie wiem co robić.

Nie wiesz? A wiesz chociaż, co jest niewiadomą w tym układzie?

[matmatmm]

Przemyślałem swoją wypowiedź i w tym układzie będzie trzeba stwierdzić, że nie ma rozwiązania dla pewnego punktu \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Gdyby były 4 lub więcej wektorów to rozwiązanie byłoby niejednoznaczne.

[MonteChristo1307]

A jak to można praktycznie zrobić? Na kolokwium nie ma czasu na kombinowanie i przydałaby się jakaś metoda, schemat jak to się liczy.

[yorgin]

Praktycznie to wskazać taki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), by wyszedł sprzeczny układ.