podprzestrzeń liniowa macierze

[Rosee1993]

Uzasadnić, że zbiór \(\displaystyle{ V= \left\{ \begin{bmatrix} x \ y \\ z \ t\end{bmatrix}: \ x-2z = y-4t \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 \times 2}}\)

[rafalpw]

Rozumiem, że rozważasz macierze nad ciałem liczb rzeczywistych? Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ M_1,M_2 \in \mathbb{R}_2^2}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ aM_1+M_2 \in V}\)

[Rosee1993]

a moglbys mi pokazac jak to ma byc?

[rafalpw]

Niech \(\displaystyle{ M_1=\begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \\ z_1 \ t_1\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ M_2=\begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \\ z_2 \ t_2\end{bmatrix}}\) należą do \(\displaystyle{ V}\), oraz \(\displaystyle{ a \in \mathbb{K}}\)

\(\displaystyle{ M=aM_1+M_2=\begin{bmatrix} ax_1+x_2 \ ay_1+y_2 \\ az_1+z_2 \ at_1+t_2\end{bmatrix}}\)

Teraz już wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ M \in V}\)

[Rosee1993]

a jak to pokazac?

[rafalpw]

a jaka jest definicja \(\displaystyle{ V}\) ?

[Rosee1993]

no musimy pokazac czy te macierze po dodaniu spelniaja warunek \(\displaystyle{ V= \left\{ \begin{bmatrix} x \ y \\ z \ t\end{bmatrix}: \ x-2z = y-4t \right\}}\). NIe umiem tego sprawdzic, gdyz nigdy nie dzialalam na macierzach i to jest dla mnie nowa rzecz.

[rafalpw]

To jest prostsze niż się wydaje. Wystarczy sprawdzić, czy ta równość zachodzi dla macierzy \(\displaystyle{ M}\). Tylko zastanów się, czym są: \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) w macierzy \(\displaystyle{ M}\).

[Rosee1993]

no to wiem ze dla nas x to odpowiednio \(\displaystyle{ ax_{1}+x_{2}}\) itd

[rafalpw]

No właśnie. No to sprawdź czy zachodzi \(\displaystyle{ x-2z=y-4t}\) (pamiętając, że \(\displaystyle{ M_1,M_2 \in V}\))

[Rosee1993]

tzn ze bedzie \(\displaystyle{ ax_{1}+x_{2}-2(az_{1}+z_{2})=ay_{1}+y_{2}-4(at_{1}+t_{2})}\)

[rafalpw]

Powyłączaj \(\displaystyle{ a}\) przed nawiasy i pogrupuj.

[Rosee1993]

tzn zeby mi wyszlo \(\displaystyle{ a(x_{1}-2z_{1})+x_{2}-2z_{2}=a(y_{1}-4t_{1})+(y_{2}-4t_{2})}\)?

[rafalpw]

No dokładnie. Już można wyciągać wnioski.

[Rosee1993]

w takim razie to spelnia nasz warunek dziekuje za pomoc