baza w przestrzeni liniowej

[Rosee1993]

Podać współrzędne wektora\(\displaystyle{ \vec{v} \in V}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \vec{b_{1}}- 2 \vec{b_{2}}, \ \vec{b_{1}}- 2 \vec{b_{2}} + \vec{b_{3}}, \ \vec{b{2}}- \vec{b_{1}} \right\}}\) przestrzeni liniowej V, jeżeli w bazie \(\displaystyle{ \left\{ \vec{b_{1}} , \ \vec{b_{2}}, \ \vec{b_{3}} \right\}}\) tej przestrzeni ma on współrzędne \(\displaystyle{ \left[ -4, 1, 2 \right]}\)

[rafalpw]

Rozumiem, że chodzi o to: \(\displaystyle{ M_B\left( v\right)=\begin{bmatrix} -4\\1\\2\end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ B=\left( b_1,b_2,b_3\right)}\)
Taki zapis jest równoznaczny temu, że \(\displaystyle{ v=-4b_1+b_2+2b_3}\) .

Weźmy \(\displaystyle{ A=\left( b_1-2b_2,b_1-2b_2+b_3,b_2-b_1\right)}\), szukamy \(\displaystyle{ M_A\left( v\right)}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ M_A\left( v\right)=\begin{bmatrix} A\\B\\C\end{bmatrix}}\) , co jest równoznaczne:

\(\displaystyle{ v=A\left( b_1-2b_2\right)+B\left( b_1-2b_2+b_3\right)+C\left( b_2-b_1\right)}\) , czyli:

\(\displaystyle{ -4b_1+b_2+2b_3=A\left( b_1-2b_2\right)+B\left( b_1-2b_2+b_3\right)+C\left( b_2-b_1\right)}\)

Wystarczy już tylko wyliczyć \(\displaystyle{ A,B,C}\) z tego równania (czyli tak naprawdę układu trzech równań).

EDIT: komentarz poniżej

[lackiluck1]

Powinno być \(\displaystyle{ v=-4b_1+b_2+2b_3}\)