Macierz formy dwuliniowej:

[Hadian]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą formy dwuliniowej \(\displaystyle{ f: R^{3} \times R^{3} \rightarrow R^{}}\)
w bazie \(\displaystyle{ B= \left( \left( 1,-1,1 \right) , \left( 0,1,1 \right) , \left( 0,0,1 \right) \right)}\)
Znajdz macierz formy w bazie standardowej.


Macierz A złożona z wektorów :
\(\displaystyle{ u_{1} \left[0,1,1 \right]}\)
\(\displaystyle{ v_{2} \left[1,0,1 \right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3} \left[1,1,0 \right]}\)

Tu kończy się treść zadania.
Teraz moje rozkminy ktore bym prosił sprawdzić i ocenić tok rozumowania , ewentualnie wskazać błędy.
\(\displaystyle{ f(x,y)= X^{T} _{B} A Y_{B}}\)
Założyłem ze wektor \(\displaystyle{ X= \left( x _{1} x _{2} x _{3} \right)}\) w bazie kanonicznej , wektor \(\displaystyle{ Y}\) to samo.
Po czym wyznaczyłem współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ B}\).
Po czym wyliczyłem ze wzoru \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jako wielomian stopnia 2-ego.

Po czym korzystając z \(\displaystyle{ a_{ij} =f(e _{i}e _{j} )}\) liczę każdy wyraz macierzy.( gdzie wektory e... to baza kanoniczna)
Pójdzie tą metodą ? Istnieje szybsza?

[Kartezjusz]

Skorzystaj z faktu
\(\displaystyle{ f((a_{1},a_{2},a_{3}),(b_{1},b_{2},b_{3}))= \sum_{i,j=1}^{i,j=3} ,f)=a_{i}b_{j}f(e_{i},e_{j})}\)który wynika z dwuliniowości \(\displaystyle{ f}\) otrzymasz w najgorszym razie układ 9 równań z 9 niewiadomymi

[Hadian]

Rozumiem.
Proszę rowniez o komentarz do moich dopisków pod treścia zadania.

[Kartezjusz]

Zamiast \(\displaystyle{ Y}\)powinno być \(\displaystyle{ X}\)