Mamy daną macierz \(\displaystyle{ M_B^B\left( F\right)}\) i chcemy znaleźć bazy i wymiar \(\displaystyle{ ker F}\) oraz \(\displaystyle{ im F}\)
Wiem, że robi się następująco:
Rozwiązuje się równanie \(\displaystyle{ M_B^B\left( F\right) \cdot X=0}\) i w wyniku przekształceń otrzymujemy macierz zredukowaną i wyróżnione kolumny (kolumny macierzy jednostkowej) będą stanowiły układ generatorów \(\displaystyle{ im F}\), a \(\displaystyle{ B \cdot X}\) będzie stanowił układ generatorów \(\displaystyle{ ker F}\)
Czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć? Dlaczego tak jest? Za każdym razem jak kogoś o to pytam to uzyskuję odpowiedź: "bo tak jest". Jestem w stanie mniej więcej zrozumieć dlaczego tak się szuka generatorów jądra (ale też chętnie bym wysłuchał wyjaśnienia), ale nie umiem sobie wyobrazić, ani udowodnić, że wybrane kolumny z tej macierzy będą stanowiły układ generatorów obrazu przekształcenia.