Pochodna przekształcenia afinicznego a punkt stały

[thedani69]

Pokazać, że każde przekształcenie afiniczne, którego pochodna nie ma wartości własnej 1 ma punkt stały.

[norwimaj]

Szukamy \(\displaystyle{ x}\) takiego, że \(\displaystyle{ Ax+v=x}\). Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) nie ma wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\), to macierz \(\displaystyle{ A-I}\) jest nieosobliwa. Zatem równanie \(\displaystyle{ (A-I)x=-v}\) ma rozwiązanie.