Podprzestrzenie liniowe

[blackbird936]

Witam!
Czy znalazłaby się dobra dusza, która sprawdziłaby mi czy dobrze myślę?

Zbadaj, które z następujących podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ R}\) nad \(\displaystyle{ Q}\) są podprzestrzeniami liniowymi:
a) \(\displaystyle{ Q( \sqrt{2}) =\left\{ a+b \sqrt{2}:a,b \in Q\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ U = \left\{ x \in R x| \le 1\right\}}\)
c) \(\displaystyle{ U = \left\{ x \in R : x^2 \in Q\right\}}\)

a)
\(\displaystyle{ A= a+b \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ B=c+d \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ A+B=a+b \sqrt{2} +c+d \sqrt{2}=a+b+(c+d) \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ d \in Q}\)
\(\displaystyle{ dA=d(a+b \sqrt{2})=da+db \sqrt{2}}\)

Jest podprzestrzenią liniową.

b)
\(\displaystyle{ x,y \in R}\)
\(\displaystyle{ |x| \le 1}\)
\(\displaystyle{ |y| \le 1}\)

\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge |x|+|y| \ge |x+y| = |1+1| = 2}\)

Nie jest przestrzenią liniową.

c) Tu nie mam pomysłu, gdyby ktoś pomógł

[Kartezjusz]

W \(\displaystyle{ b,c}\) chodzi o konkretne kontrprzykłady
b)\(\displaystyle{ x=y= \frac{3}{4}}\)
c)\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}; y= \sqrt{3}}\) Czy kwadrat należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)