Eksponenta macierzy

[lifer]

Witam. Potrzebuję pomocy w zrozumieniu sposobu wyliczania exp(A), gdzie A to zadana macierz.
Wiemy, że z definicji \(\displaystyle{ \exp(A) = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{A^{n}}{n!}}\).

Przykładem, który liczę jest \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0 \\ 0&0&2&0&-1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&1&2\end{array}\right]}\).

Stosując powyższą definicję:
\(\displaystyle{ \exp(A) = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0 \\ 0&0&2&0&-1 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&1&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc}e&0&0&0&0\\ e&e&0&0&0 \\ 0&0&e^{2}&0& \frac{1}{e} \\ 0&0&0&e^{2}&0 \\ 0&0&0&e&e^{2}\end{array}\right]}\). W wolframalpha jako wynik zamiast zer widnieje jedynka. Ale przecież \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{0^{n}}{n!} = 0}\). Czy w ogóle sposób, w który to robię jest właściwy? Z góry dziękuję za rady.

Edycja: Oczywisty błąd, bo powinienem liczyć: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{A^{0}}{0!} = e^{0} = 1}\). Przepraszam, nie zauważyłem tego wcześniej, co wynika chyba ze zmęczenia. Jednak nadal mam nadzieję, że ktoś potwierdzi powyższą metodę.


Korzystając z okazji:
Mam obliczyć dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \exp \left[ a \left(\begin{array}{ccc} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)\right] \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0 \end{array}\right)}\)

Jest to równoważne:
\(\displaystyle{ a \left(\begin{array}{ccc} 1& \frac{-1}{e} &0 \\ e&-1&0 \\ 1&-1&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0 \end{array}\right)}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a(x-\frac{1}{e}y)=-1 \\
a(ex-y)=1 \\
ax=ay \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a= \frac{-1}{x(1-\frac{1}{e})} \\
a= \frac{1}{x(e-1)} \\
\end{cases}}\)

Prawidłowo?

Pozdrawiam.

[Kartezjusz]

Tu masz mnożenie macierzowe. Tak prosto nie wyjdzie. Twoje macierze nie są diagonalne. Musisz dopiero je zdiagonalizować

[yorgin]

Edycja: Oczywisty błąd, bo powinienem liczyć: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{A^{0}}{0!} = e^{0} = 1}\). Przepraszam, nie zauważyłem tego wcześniej, co wynika chyba ze zmęczenia. Jednak nadal mam nadzieję, że ktoś potwierdzi powyższą metodę.

Masz do policzenia szereg, w którym iterujesz macierz, czego w ogóle tu nie robisz.

\(\displaystyle{ \exp \left[ a \left(\begin{array}{ccc} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)\right] \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0 \end{array}\right)}\)

Jest to równoważne:
\(\displaystyle{ a \left(\begin{array}{ccc} 1& \frac{-1}{e} &0 \\ e&-1&0 \\ 1&-1&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0 \end{array}\right)}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a(x-\frac{1}{e}y)=-1 \\
a(ex-y)=1 \\
ax=ay \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a= \frac{-1}{x(1-\frac{1}{e})} \\
a= \frac{1}{x(e-1)} \\
\end{cases}}\)

Prawidłowo?

Jak wyżej. Nie mam pojęcia, skąd taki a nie inny wynik eksponenty. Dodatkowo co tam robią \(\displaystyle{ x, y}\) ?

Od ręki mogę napisać, jaki jest wynik samego \(\displaystyle{ \exp}\) :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
\cos a & -\sin a & 0 \\
\sin a & \cos a & 0\\
0 & 0 & e^a\end{array}\right]}\)

[lifer]

Czyli najpierw mam zdiagonalizować macierz a później zadziałać analogicznie?

[yorgin]

Tak, o ile wiesz, że

\(\displaystyle{ e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^{A}P}\)

Macierze przejścia są niezbędne.

[norwimaj]

Nie diagonalizuj (zwłaszcza że macierz nie jest diagonalizowalna). Tę macierz łatwo można podnieść do dowolnej potęgi. Macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&-1 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0\end{bmatrix}}\)

jest nilpotentna, o ile mnie wzrok nie myli.

[lifer]

Czyli tak: Wyznaczam wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}, ..., \lambda_{n}}\) i liczę wektory własne \(\displaystyle{ v_{1}, ... , v_{n}}\). Na ich podstawie dostaję bazę \(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & ... & 0\\ 0 & ... & \lambda_{n}\end{array}\right]}\) i korzystam z tego, że \(\displaystyle{ B = P^{-1}AP}\) przy czym \(\displaystyle{ P = [\begin{array}{ccc} v_{1} & ... & v_{n} \end{array}]}\) zapisanych pionowo wektorów \(\displaystyle{ v}\). Zgadza się?


Edycja:
Poszperałem więcej w literaturze i robi się to powoli klarowne. Ugrzązłem tylko w kwestii technicznej. Wyznaczyłem \(\displaystyle{ F_{A}(\lambda)=(1-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{3}}\). Stąd \(\displaystyle{ spec(A)=\{2,3\}}\). Następnie wyznaczam podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ V_{1}}\). Dla \(\displaystyle{ V_{1}}\) mam układ równań: \(\displaystyle{ x_{1}=0, x_{3}-x_{5}=0, x_{4}=0, x_{4}+x_{5}=0}\). Dla \(\displaystyle{ V_{2}}\) natomiast: \(\displaystyle{ x_{2}=0, x_{3}-x_{5}=0, x_{4}=0, x_{4}+x_{5}=0}\).

Mogę już obliczyć macierz \(\displaystyle{ B}\), ale potrzebuję jeszcze bazę Jordana \(\displaystyle{ \beta}\) dzięki której mogę wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ P}\).
I co teraz? Jak skonstruować bazę Jordana? Mam problem z wyznaczaniem tych podprzestrzeni. Czy dla \(\displaystyle{ V_{1}^{(1)}: [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}] \in lin\{[0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0], [0,0,0,1,1], [0,0,-1,0,1]\}}\) ?

Pozdrawiam.

[yorgin]

Nie diagonalizuj (zwłaszcza że macierz nie jest diagonalizowalna). Tę macierz łatwo można podnieść do dowolnej potęgi. Macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&-1 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0\end{bmatrix}}\)

jest nilpotentna, o ile mnie wzrok nie myli.

Nie myli. Trzecia potęga jest zerowa.

[norwimaj]

Mimo wszystko moja wskazówka może być trochę myląca, więc przedstawię rozwiązanie.

Wystarczy znaleźć eksponentę macierzy \(\displaystyle{ A_1=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ A_2=\begin{bmatrix}2&0&-1\\0&2&0\\0&1&2\end{bmatrix}}\).

\(\displaystyle{ e^{A_1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}A_1^n=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right)^n\\\\=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}e&0\\e&e\end{bmatrix},}\)

\(\displaystyle{ e^{A_2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}A_2^n=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\left(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\right)^n\\\\=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\left(2^n\cdot\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+n\cdot2^{n-1}\cdot\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}+\binom{n}2\cdot2^{n-2}\cdot\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\right)=\\=
e^2\cdot\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}+e^2\cdot\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}+\frac12e^2\cdot\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}e^2&-\frac12e^2&-e^2\\0&e^2&0\\0&e^2&e^2\end{bmatrix}.}\)