Macierz odwzorowania liniowego bez zadanej funkcji

[szymonidlo]

Witam,

Mam problem z zadaniem o treści:
Znajdź macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ F: R^{3} \rightarrow R^{2}}\) (w standardowych bazach) takiego, że

\(\displaystyle{ F\left( \left[ 1, 0 ,0 \right]\right) = (1,2),
F\left( \left[ 1, 1 ,0 \right]\right) = (1,3),
F\left( \left[ 1, 1 ,1 \right]\right) = (2,0).}\)

-Wyznacz jądro tego odwzorowania
-Wyznacz obraz tego odwzorowania

Moje pytanie brzmi, czy w pierwszej kolejności należy wyznaczyć funkcję określającą to przekształcenie (także aby później wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania)? Jeżeli tak, to jak? Wstawiać dobierając współczynniki, aby spełniały równanie?
Szukałem podobnych zadań jednak z reguły funkcja była podana w treści zadania.

[bartek118]

Musisz policzyć wartość tej funkcji na wektorach bazowych (korzystając z liniowości). Wtedy odwzorowanie liniowe zadane jest już na całej przestrzeni. Wektory, na które przechodzą bazowe ustawiasz w kolumnach macierzy i to jest macierz tego przekształcenia, powiedzmy \(\displaystyle{ A}\). Wówczas przekształcenie jest zadane wzorem \(\displaystyle{ F(v)=Av}\).

[szymonidlo]

Dziękuję za wskazówkę, proszę tylko o potwierdzenie ,czy dobrze myslę?

\(\displaystyle{ F( [ 1,0,0 ] ) = [1,2 ]}\).

\(\displaystyle{ F( [ 0,1,0 ] ) = F ( [ 1,1,0 ] ) - F ( [ 1,0,0 ] ) = [ 1,3 ] - [ 1,2 ] = [ 0,1 ]}\).

\(\displaystyle{ F( [ 0,0,1 ] ) = F ( [ 1,1,1 ] ) - F ( [ 1,1,0 ] ) = [ 2,0 ] - [ 1,3 ] = [ 1,-3 ]}\).

i powstaje macierz (nie umiem w tex)
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&1 \\ 2&1&-3\end{pmatrix}}\)

Nasze równanie ma postać

\(\displaystyle{ F(x,y,z) = [ 1x + 0y + 1z , 2x + 1y -3z ]}\).