Jądro i obraz odwzorowania F oraz ich wymiary.

[Aegon]

Witam,

Wiem, że temat był wałkowane kilkanaście razy na tym forum, lecz w żadnym temacie nie trafiłem na przykład tego typu. Mam przed sobą definicje, lecz przy rozwiązywaniu tego przykładu po prostu staję w kropcę. Byłbym bardzo wdzięczny o pomoc.

A polecenie zadania brzmi:

Wyznacz jądro i obraz poniższego odwzorowania F. Jakie są wymiary tych podprzestrzeni?

P.1. \(\displaystyle{ F((x,y,z)) = (x,x+y,x+y+z)}\)

Obliczam jądro (ker):

\(\displaystyle{ x=0

x+y=0

x+y+z=0}\)

\(\displaystyle{ x=0

y=0

z=0

ker(F) = (0,0,0)}\)

Obraz (rng):

\(\displaystyle{ x=x

x+y=y \Rightarrow x=0

x+y+z=z \Rightarrow x+y=0}\)

\(\displaystyle{ rng(F) = (0,0,0)}\)

Wymiar ze wzorku:

\(\displaystyle{ dim(ker(F))+dim(rng(F))=dimR^2

dim(ker(F)) = 0

dim(rng(F)) = dimR^2 - 0 = 2}\)

No i u góry mamy sprzeczność.. Skoro ker(F) = (0,0,0) to jego wymiar wynosi 0. Z kolei ze wzoru wynika, że wymiar obrazu powinien wynosić 2, jednakże rng(F) = (0,0,0).

Bardzo dziękuję za jakiekolwiek wskazówki, abym wreszcie mógł zrozumieć, co mi wciąż umyka.

Pozdrawiam serdecznie!

[Spektralny]

Ale jaka sprzeczność? Przecież nie dowodzisz niczego nie wprost. \(\displaystyle{ \mbox{rng }F}\) to po prostu \(\displaystyle{ F}\) jako funkcji. Na przykład, \(\displaystyle{ F(1,1,1)=(1,2,3)}\) należy do \(\displaystyle{ \mbox{rng }F}\).

Obraz to nic innego jak

\(\displaystyle{ \mbox{span}\{F((1,0,0)), F((0,1,0)), F((0,0,1))\}.}\)

[Aegon]

Dzięki za odpowiedź!

Jeżeli nie ma w moich obliczeniach żadnego błędu to wnioskuję, że wszystko jest ok? W takim razie jestem jeszcze bardziej zagubiony..

[Spektralny]

Obraz (rng):

\(\displaystyle{ x=x

x+y=y \Rightarrow x=0

x+y+z=z \Rightarrow x+y=0}\)

\(\displaystyle{ rng(F) = (0,0,0)}\)

Wymiar ze wzorku:

\(\displaystyle{ dim(ker(F))+dim(rng(F))=dimR^2

dim(ker(F)) = 0

dim(rng(F)) = dimR^2 - 0 = 2}\)

No i u góry mamy sprzeczność.. Skoro ker(F) = (0,0,0) to jego wymiar wynosi 0. Z kolei ze wzoru wynika, że wymiar obrazu powinien wynosić 2, jednakże rng(F) = (0,0,0).

Z tego co napisałem wyżej wynika, że ten fragment nie ma najmniejszego sensu.

[Aegon]

Dobrze, zacznę więc od nowa.

Na spokojnie przeczytałem Twój pierwszy post raz jeszcze i myślę, że w końcu zrozumiałem czym tak naprawdę jest obraz funkcji. Dziękuję za prostą, obrazową definicję!

Wyposażony w nową wiedzę wracam do mojego zadanka.

Wiem już, że jest to odwzorowanie z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\)

Wiem także (o ile jądro wyznaczyłem prawidłowo), że \(\displaystyle{ dim(ker(F)) = 1}\), gdyż jest to po prostu punkt.

Pora na obraz \(\displaystyle{ rng(F)}\)!

\(\displaystyle{ rng(F) = \left\{ v\in \mathbb{R}^3 : v = (x,x+y,x+y+z), x,y,z \in \mathbb{R} \right\}}\)

I wyszło mi takie cudeńko. Czy to jest już poprawna forma obrazu odwzorowania? Licząc dalej otrzymuję takie coś:

\(\displaystyle{ (x,x+y,x+y+z)=(x,x,x)+(0,y,y)+(0,0,z)=x(1,1,1)+y(0,1,1)+z(0,0,1)}\)

Doczytując w internecie rozumiem, że ma to coś wspólnego z bazą tego obrazu. Jeśli tak to czy baza wynosi:

\(\displaystyle{ B rng(F) = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}}\)

Na koniec znowu problem z wymiarem obrazu.. Z definicji (notatki z wykładu) wynika, że:

\(\displaystyle{ F: V \rightarrow W}\)

\(\displaystyle{ dim(V) = dim(ker(F)) + dim(rng(F))}\)

\(\displaystyle{ dim(rng(F)) = dim(V) - dim(rng(F))}\)

\(\displaystyle{ dim(rng(F)) = 3 - 1 = 2}\)

Lecz patrząc na postać obrazu strzeliłbym, że jego rozmiar wynosi 3..

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[Spektralny]

Jądro to \(\displaystyle{ \{0\}}\), więc jego wymiar to \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ \{0\} = \mbox{span }\varnothing}\).

[Aegon]

Masz całkowitą rację, źle przeczytałem i bez zastanowienia przyswoiłem. Faktycznie wymiar naszego jądra to 0, więc ostatecznie wymiar obrazu wynosi 3:

\(\displaystyle{ dim(rng(F)) = 3}\)

Uf, bardzo Ci dziękuję za pomoc. Mógłbyś mi jeszcze na koniec powiedzieć coś na temat tej bazy, o której napisałem (i chyba zacząłem liczyć) w poprzednim poście?

Pozdrawiam.

[Spektralny]

Na ogół obraz bazy nie jest bazą obrazu, ale zawsze go generuje. Zerowe jądro oznacza, że \(\displaystyle{ F}\) jest różnowartościowe, a więc w tym szczególnym przypadku obraz bazy jest bazą obrazu.