Jak sprawdzić czy dany podzbiór jest podprzestrzenią lin.

[leszczu450]

Cześć!

Mam sprawdzić, czy nasepujący zbiór jest podprzestrzenią liniową.
\(\displaystyle{ \left\{ \left( u,v,2u,4v\right) ; u, v \in \mathbb{R} \right\} \subseteq {\mathbb{R}}^{4}}\)

Z góry dzięki za pomoc!

[miodzio1988]

z definicji to robisz

[leszczu450]

miodzio1988, czyli muszę sprawdzić czy komibnacja liniowa dwóch elementów jest też w postaci \(\displaystyle{ \left( u,v,2u,4v\right)}\) tak?

[miodzio1988]

no definicje powinienes znac

[leszczu450]

Więc robie to tak: \(\displaystyle{ u, v, u', v' \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \alpha\left( u,v,2u,4v\right)= \left( \alpha u, \alpha v, 2 \alpha u, 4 \alpha v\right) \\ \beta\left( u', v', 2u', 4v'\right)= \left( \beta u', \beta v', 2\beta u' , 4 \beta v'\right)}\)

Dodając te dwa wektory otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( \alpha u + \beta u', \alpha v + \beta v', 2(\alpha u + \beta u'), 4(\alpha v + \beta v')\right)}\)

I chyba sie zgadza. Wynik tego dodawnia jest w postaci \(\displaystyle{ (a,b,2a,4b)}\)
Sprawdzisz to? : )

-- 7 kwi 2013, o 17:52 --

Mam też kolejne zadanie tego typu. Tym razem ten zbiór do sprawdzenia to:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( u,v\right) ; u, v \in \mathbb{R}, u \le v \right\}}\)

ROZWIĄZANIE:
\(\displaystyle{ u, u', v, v' \in \mathbb{R} , \alpha, \beta \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \alpha(u,v) + \beta(u', v') = (\alpha u + \beta u' , \alpha v + \beta v')}\)
Muszę zatem sprawdzić czy taka nierówność jest zawsze prawdziwa:
\(\displaystyle{ \alpha u + \beta u' \le \alpha v + \beta v'}\)

Wykorzystując założenie, że \(\displaystyle{ u \le v}\) i \(\displaystyle{ u' \le v'}\) łatwo widać, że nierówność którą muszę sprawdzić można przedstawić inaczej :
\(\displaystyle{ \alpha u - \alpha v + \beta u' - \beta v' \le 0 \\ \alpha(u-v) + \beta(u' - vi) \le 0}\)

To co jest w nawiasach jest mniejsze od zera. Ale żeby nierówność zachodziła trzeba by się pobawić jeszcze skalarami \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\). Wystarczy wziąć dwa dowolne mniejsze od zera skalary i nierówność już napewno nie zachodzi. Nie wiem czy to jest dobry argument. Proszę Was o sprawdzenie : )